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| Aufgabe | Untersuche das Konvergenzverhalten folgender Reihen:
a.) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel[n]{n}-1)^n
[/mm]
b.) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+7)^2}{(n+1)!}
[/mm]
c.) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n+\wurzel{n}}{n^2-n}
[/mm]
d.) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{n+1}-\wurzel{n}
[/mm]
e.) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{n} [/mm] |
Hallo,
ich habe heute mal den ganzen Morgen den Umgang mit den Konvergenzkriterien geübt. Ich bin bin vielen zum Ziel gekommen, doch bei den o.g. Reihen komme ich einfach nicht weiter.
Zu a.) Es bietet sich irgendwie das Wurzelkriterium an:
[mm] \wurzel[n]{(\wurzel[n]{n}-1)^n}=\wurzel[n]{n}-1. [/mm] Jetzt weiß ich ja, dass [mm] \wurzel[n]{n} \to [/mm] 1 für n [mm] \to \infty. [/mm] Dh. [mm] \wurzel[n]{n}-1 \le [/mm] 3/4 für alle n [mm] \ge n_0. [/mm] Also existiert ein q [mm] \in [/mm] (0,1).
Reicht das so oder muss ich auf jeden Fall ein bestimmtes q angeben bzw. ein festes [mm] n_0?
[/mm]
Zu b.) Ich habe mit dem Quotientenkriterium angefangen. [mm] \bruch{(n+8)^2}{(n+2)!}*\bruch{(n+1)!}{(n+7)^2} [/mm] = [mm] (\bruch{n+8}{n+7})^2*\bruch{1}{n+2}. [/mm] Wenn man das alles ausmultipliziert erhält man: [mm] \bruch{n^2+16n+64}{n^3+16n^2+77n+98}. [/mm] Auch hier "sieht" man wieder, dass das kleiner als 1 ist. Aber das ist ja keine richtige mathematische Begründung.
Zu c.) Hier komme ich irgendwie gar nicht weiter. Mich stört die Wurzel im Zähler. Dadruch komm ich beim Quotientenkriterium gar nicht weiter. Habe auch versucht die Reihe abzuschätzen, um mit dem MAjorantenkriterium die Konvergenz zu begründen. Doch hat auch nicht geklappt.
Zu d.) Die Reihe kannte ich bisher nur von Folgen. Also hab ich sie auch hier erstmal umgeschrieben [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{n+1}-\wurzel{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}
[/mm]
Mit den QK folgt: [mm] \bruch{\wurzel{n}+\wurzel{n+1}}{\wurzel{n+2}+\wurzel{n+1}} [/mm] Klar auch hier existiert ein q [mm] \in [/mm] (0,1). Wie begründe ich das und schreibe es am besten auf?
Zu e.) Kann ich das abschätzen und sagen, dass Teil d.) dann eine konvergente Majorante ist?
Danke für eure Hilfe
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Sa 12.01.2008 | | Autor: | DaReava |
Hallo!
Hier zwar nicht die Antwort auf alle Fragen, aber ich hoffe dennoch, dass es weiterhilft.
$->c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n+\wurzel{n}}{n^2-n} [/mm] $
(Hier habe ich die Vermutung, dass sich beim abschreiben ein kleiner Fehler eingeschlichen hat (was nicht weiter schlimm ist) - es darf aber nicht [mm]n=1[/mm] heißen)
[mm] \summe_{n=2}^{M} \bruch{n+\wurzel{n}}{n^2-n}\quad \gdw \quad \summe_{n=2}^{M} \bruch{n(1+\bruch{1}{\wurzel{n}}}{n(n-1)}\quad \gdw \quad \summe_{i=2}^{M}(\bruch{1}{n-1} + \bruch{1}{\wurzel{n}(n-1)}) [/mm]
In meinen Augen genügt das jetzt schon - denn es ist offensichtlich, dass
[mm]\bruch{1}{n-1} \ge \bruch{1}{n} \forall n\ge2\quad und\quad \bruch{1}{\wurzel{n}(n-1)} \ge 0 [/mm]
Also kann man das umgekehrte Majorantenkriterium anwenden:
[mm]\summe_{i=2}^{M}(\bruch{1}{n-1} + \bruch{1}{\wurzel{n}(n-1)}) \ge \summe_{i=2}^{M}\bruch{1}{n} [/mm]
also nicht konvergent. [mm] \Box [/mm]
Und noch eben zu deiner Frage ->b):
$ [mm] \bruch{n^2+16n+64}{n^3+16n^2+77n+98} [/mm] $
Um zu zeigen, dass der Term (für [mm] n \to \infty [/mm] kleiner 1 ist. bietet es sich an durch [mm] n^i [/mm] zu teilen,
(i=höchste vorkommende Potenz von n):
[mm] \bruch{n^2+16n+64}{n^3+16n^2+77n+98} = \bruch{\bruch{1}{n}+\bruch{16}{n^2}+\bruch{64}{n^3}}{n+\bruch{16}{n}+\bruch{77}{n^2}+\bruch{98}{n^3}} [/mm]
DANN ist es offensichtlich.
Zu den anderen Aufgaben äussere ich mich dann später, wenn das bis dahin noch niemand getan hat.
LG reava
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> Untersuche das Konvergenzverhalten folgender Reihen:
> d.) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{n+1}-\wurzel{n}[/mm]
> Zu d.) Die Reihe kannte ich bisher nur von Folgen. Also hab
> ich sie auch hier erstmal umgeschrieben
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{n+1}-\wurzel{n}=
\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Mit den QK folgt:
> [mm]\bruch{\wurzel{n}+\wurzel{n+1}}{\wurzel{n+2}+\wurzel{n+1}}[/mm]
> Klar auch hier existiert ein q [mm]\in[/mm] (0,1).
Klar? - Mit nichten! - Denn wenn Du den Limes für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] dieses Quotienten geprüft hättest, dann hättest Du gefunden, dass
[mm]\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}
=\frac{\sqrt{n}\cdot\big(1+\sqrt{1+\frac{1}{n}}\big)}{\sqrt{n}\cdot\big(\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}\big)}}
=\frac{1+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}\underset{n\uparrow \infty}{\longrightarrow} 1[/mm]
Also kann es kein festes $q<1$ geben, das diesen Quotienten nach oben beschränkt.
Das allgemeine Reihenglied ist doch, wie Du selbst geschrieben hast,
[mm]\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{n}}+1}> \frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\frac{1}{3}\geq \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{3}[/mm]
Also divergiert die Reihe, da sie die mit der Konstanten [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] multiplizierte harmonische Reihe als divergente Minorante besitzt.
> Wie begründe ich das
Besser begründest Du dies nicht - weil es nicht wahr ist.
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> d.) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{n+1}-\wurzel{n}[/mm]
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> e.) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{n}[/mm]
> Zu e.) Kann ich das abschätzen und sagen, dass Teil d.)
> dann eine konvergente Majorante ist?
d) ist eben gar nicht konvergent, also können wir diesen Weg vergessen. Aber wiederum kannst Du den Trick mit der 3. binomischen Formel verwenden, um die Differenz von Wurzeln zu etwas einfacher zu Handhabendem umzuformen:
[mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}=\sum_{n=1}\frac{1}{n\cdot \big(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\big)}=\sum_{n=1}\frac{1}{n^{3/2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\leq \sum_{n=1}\frac{1}{n^{3/2}}[/mm]
hat also die konvergente Majorante [mm] $\sum_{n=1}\frac{1}{n^{3/2}}$ [/mm] und ist daher selbst ebenfalls konvergent.
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> Untersuche das Konvergenzverhalten folgender Reihen:
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> a.) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel[n]{n}-1)^n[/mm]
> Zu a.) Es bietet sich irgendwie das Wurzelkriterium an:
>
> [mm]\wurzel[n]{(\wurzel[n]{n}-1)^n}=\wurzel[n]{n}-1.[/mm] Jetzt weiß
> ich ja, dass [mm]\wurzel[n]{n} \to[/mm] 1 für n [mm]\to \infty.[/mm] Dh.
> [mm]\wurzel[n]{n}-1 \le[/mm] 3/4 für alle n [mm]\ge n_0.[/mm] Also existiert
> ein q [mm]\in[/mm] (0,1).
> Reicht das so oder muss ich auf jeden Fall ein bestimmtes q
> angeben bzw. ein festes [mm]n_0?[/mm]
Du hast ja selbst ein solches $q$ hingeschrieben: [mm] $q=\frac{3}{4}$. [/mm] Des weiteren: Nein, ich denke nicht, dass Du ein konkretes [mm] $n_0$ [/mm] angeben musst. Wesentlich ist nur, dass Du einen guten Grund hast zu behaupten, dass ein solches [mm] $n_0$ [/mm] existieren muss, ab dem [mm] $\sqrt[n]{n}-1$ [/mm] durch [mm] $q=\frac{3}{4}$ [/mm] nach oben beschränkt und daher das entsprechende Restglied der Reihe a) durch die konvergente geometrische Reihe [mm] $\sum_{n=n_0} q^n$ [/mm] majorisiert wird. Deine Erklärung, dass ja [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n}=1$ [/mm] gilt, ist zu diesem Zweck gut genug. Ausser Du hättest das Gefühl, dass der anvisierte Leser vermutlich für diese Behauptung, [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n}=1$, [/mm] einen detailierten Beweis einfordern würde...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 So 13.01.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Danke euch! Ihr habt mir sehr weitergeholfen.
Gruß Patrick
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