Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 So 11.11.2007 | | Autor: | balboa |
| Aufgabe | Folgende Reihen sollen auf Konvergenz/Divergenz untersucht werden.
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k^4+1}} [/mm]
[mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{log k} [/mm]
[mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{log k} [/mm]
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} e^{-k} k^{10} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Leider stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch und finde keinen Ansatz um die Aufgaben anzugehen.
Ich frage mich auch, woran ich erkenne, welches Konvergenzkriterium ich bei einer gegebenen Aufgabe anwenden soll.
Ich bin daher für jede Hilfe und Hinweise dankbar.
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> Folgende Reihen sollen auf Konvergenz/Divergenz untersucht
> werden.
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k^4+1}}[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{log k}[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{log k}[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} e^{-k} k^{10}[/mm]
> Leider stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch und finde
> keinen Ansatz um die Aufgaben anzugehen.
> Ich frage mich auch, woran ich erkenne, welches
> Konvergenzkriterium ich bei einer gegebenen Aufgabe
> anwenden soll.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das passende Stichwort nennst Du selbst: die Konvergenzkriterien.
Mit diesen mußt Du versuchen, Deine Reihen in Griff zu bekommen.
Welches für was? Immer das, was paßt...
Das ist Erfahrungs- und Übungssache und man lernt das durchs Tun:
klappt das eine nicht, versucht man's mit dem nächsten.
Bevor man mit den Konvergenzkriterien beginnt, lohnt ein kleiner Blick auf die Folge [mm] (a_n) [/mm] in [mm] \summe a_n:
[/mm]
wenn die nämlich keine Nullfolge ist, kann die Reihe nicht konvergieren, und man kann seine Untersuchung beenden.
Für a) versuch' mal, eine Majorante zu finden. Eine Reihe, von der Ihr die Kovergenz gezeigt habt, und mit welcher Du nach oben abschätzen kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 11.11.2007 | | Autor: | balboa |
Hallo,
vielen Dank für den Empfang.
Der Hinweis zu a) hat mich jetzt auf folgende Idee gebracht:
in der Vorlesung wir gezeigt, dass [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k^2}[/mm] konvergiert.
Kann ich dann folgendermaßen Vorgehen:
[mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{k^4 + 1}} \le \bruch{1}{\wurzel{k^4}} = \bruch{1}{k^2}[/mm]
Kann ich jetzt sagen, dass die Ausgangsreihe ebenfalls konvergiert?
Kann ich mir einfach so eine konvergierende Reihe aussuchen und dann versuchen, eine gegebene unbekannte Reihe mit dieser zu vergleichen und dann für diese Reihe auch die Konvergenz angeben?
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Hallo balboa,
> Hallo,
> vielen Dank für den Empfang.
> Der Hinweis zu a) hat mich jetzt auf folgende Idee
> gebracht:
> in der Vorlesung wir gezeigt, dass
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k^2}[/mm] konvergiert.
> Kann ich dann folgendermaßen Vorgehen:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{k^4 + 1}} \le \red{\summe_{k=1}^{\infty}}\bruch{1}{\wurzel{k^4}} = \red{\summe_{k=1}^{\infty}} \bruch{1}{k^2}[/mm]
>
> Kann ich jetzt sagen, dass die Ausgangsreihe ebenfalls
> konvergiert? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kann ich mir einfach so eine konvergierende Reihe
> aussuchen und dann versuchen, eine gegebene unbekannte
> Reihe mit dieser zu vergleichen und dann für diese Reihe
> auch die Konvergenz angeben?
Solange die konvergente Reihe größer ist als deine Ausgangsreihe.
Das ist ja gerade das Majorantenkriterium.
Wenn die größere Reihe konvergent und damit insbesondere endlich ist, ist eine kleinere natürlich auch
Genau so im umgekehrten Fall. Wenn du zeigen willst, dass eine Reihe divergent ist, suche eine kleinere divergente Reihe (divergente Minorante).
Dann bleibt der noch größeren Ausgangsreihe ja auch nix anderes übrig als auch zu divergieren
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:35 Mo 12.11.2007 | | Autor: | balboa |
Danke, für heute sind meine Fragen beantwortet, werden aber sicherlich in nächster Zeit noch welche folgen.
MFG
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