Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 So 04.11.2007 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Untersuche auf Konvergenz:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a^nn!}{n^n} [/mm] für |a| < e und |a| > e
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n-3}{(n+2)(n+5)} [/mm] |
Welche Konvergenzkriterien soll man hier anwenden?
Bei Aufgabe a) habe ich es mit dem Wurzelkriterium versucht. Habe aber dann folgendes erhalten:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a^nn!}{n^n}
[/mm]
So bin ich dann nicht mehr weitergekommen. Sollte ich einen anderen Weg versuchen?
Und bei Aufgabe b) habe ich zuerst mal den Ausdruck folgendermassen umgeformt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{(n+2)(n+5)} [/mm] - [mm] \bruch{3}{(n+2)(n+5)}
[/mm]
Bin ich da auf dem richtigen Weg?
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> Untersuche auf Konvergenz:
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a^nn!}{n^n}[/mm] für |a| < e
> und |a| > e
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n-3}{(n+2)(n+5)}[/mm]
> Welche
> Konvergenzkriterien soll man hier anwenden?
> Bei Aufgabe a) habe ich es mit dem Wurzelkriterium
> versucht. Habe aber dann folgendes erhalten:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a^nn!}{n^n}[/mm]
> So bin ich
> dann nicht mehr weitergekommen. Sollte ich einen anderen
> Weg versuchen?
> Und bei Aufgabe b) habe ich zuerst mal den Ausdruck
> folgendermassen umgeformt:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{(n+2)(n+5)}[/mm] -
> [mm]\bruch{3}{(n+2)(n+5)}[/mm]
> Bin ich da auf dem richtigen Weg?
In beiden Fällen würdest Du mit einer "asymptotischen Näherung" der Reihenglieder (für [mm] $n\rightarrow +\infty$) [/mm] und Vergleich mit einer bekannten Reihe nach meiner Einschätzung am leichtesten zum Ziel kommen.
Ich weiss leider nicht, ob Du die asymptotische Näherung [mm] $\sqrt{2\pi n}\left(\tfrac{n}{\mathrm{e}}\right)^n$ [/mm] für $n!$ kennst. Dies würde ich selbst jedenfalls für die Untersuchung des asymptotischen Verhaltens des Reihengliedes in Teilaufgabe a) für [mm] $n\rightarrow +\infty$ [/mm] verwenden.
Analog bei Teilaufgabe b): wegen [mm] $\frac{n-3}{(n+2)(n+5)}=\frac{1-\frac{3}{n}}{(1+\frac{2}{n})\cdot (1+\frac{5}{n})}\cdot \frac{1}{n}$ [/mm] verhält sich dieses Reihenglied für [mm] $n\rightarrow +\infty$ [/mm] in etwa wie das Reihenglied [mm] $\tfrac{1}{n}$ [/mm] der bekanntlich divergenten harmonischen Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty\tfrac{1}{n}$. [/mm] Also divergiert diese Reihe.
Mit "verhält sich in etwa wie" (für [mm] $n\rightarrow \infty$) [/mm] kann man genauer verstehen: es gibt Konstanten [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$, [/mm] derart dass für alle $n$ gilt:
[mm]c_1 \tfrac{1}{n}\leq \frac{n-3}{(n+2)(n+5)} \leq c_2 \tfrac{1}{n}[/mm]
Aus diesem Grund muss der Wert der Reihe von Teilaufgabe b) zwischen [mm] $c_1\sum_{n=1}^\infty\tfrac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $c_2\sum_{n=1}^\infty\tfrac{1}{n}$ [/mm] liegen (diese untere und obere Grenze sind aber beide gleich [mm] $+\infty$).
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 So 04.11.2007 | | Autor: | jokerose |
Also danke erstmals für die ausführliche Antwort.
Die asymtotische Näherung haben wir leider noch nicht gehabt. Ich denke, wir sollten diese Aufgaben auch anders lösen können. Gäbe es da auch noch eine andere Möglichkeit?
Ich habs auch noch mit dem "Cauchy condensation test" versucht. Bringt aber auch nicht sehr viel...
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Hallo jokerose,
probier doch für die erste Reihe mal das Quotientenkriterium.
Du kannst ja im Falle $|a|<e$ das $|a|$ schreiben als
[mm] $|a|=e-\delta$ [/mm] mit [mm] $\delta>0$ [/mm] bzw. im anderen Fall [mm] $|a|=1+\delta$ [/mm] mit [mm] $\delta>0$
[/mm]
Bei der zweiten Reihe versuch's mal mit dem Vergleichskriterium.
Findest du ne divergente Minorante?
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 So 04.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Aufgabe a ist doch ein wunderschönes Beispiel für das Quotientenkriterium.
[mm] \bruch{\bruch{a^{(n+1)}(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}}{\bruch{a^nn!}{n^n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{a(n+1)n^n}{(n+1)^n(n+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{a*n^n}{(n+1)^n}
[/mm]
[mm] =a\bruch{n}{n+1}^n\rightarrow a\bruch{1}{e}
[/mm]
So kommst du auch auf die Fallunterscheidung |a|<e und |a|>e
Das ganze muss nämlich kleiner als 1 sein, damit die Reihe konvergiert.
Aufgabe b kann man das Majorantenkriterium anwenden:
Wie du die Summe Aufgespalten hast ist genau richtig.
mit [mm] \bruch{3}{(n+2)(n+5)}<\bruch{3}{n^2}
[/mm]
und [mm] 3\summe\bruch{1}{n^2}<\infty
[/mm]
sieht man, dass der zweite Teil konvergiert.
Der erste Teil allerdings ist divergent. Das was in der Summe steht kannst du nämlich nach unten abschätzen, bis du eine Reihe erhälst, die divergiert.
Das müsste in diesem Fall [mm] \bruch{1}{n} [/mm] sein. Somit ist die gesamte Reihe divergent.
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 So 04.11.2007 | | Autor: | jokerose |
Hey,
Vielen Dank für die super Hilfe.
Nur noch ein kleines Problem:
Ich sehe nicht, wie ich [mm] \bruch{n}{(n+2)(n+5)} [/mm] nach unten abschätzen kann, damit ich auf [mm] \bruch{1}{n} [/mm] komme.
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Hi,
forme zunächst mal ein bisschen um:
$ [mm] \bruch{n}{(n+2)(n+5)}=\bruch{n}{n^2+7n+10}=\bruch{n}{n(n+7+\frac{10}{n})}=\bruch{1}{n+7+\frac{10}{n}}$
[/mm]
Nun ist für [mm] n\ge [/mm] 5: [mm] $n+7+\frac{10}{n}\le [/mm] 3n$
Also für [mm] $n\ge [/mm] 5$:
[mm] $\bruch{1}{n+7+\frac{10}{n}}\ge\bruch{1}{3n}=\frac{1}{3}\cdot{}\bruch{1}{n}$
[/mm]
Damit kannst du deine Reihe für [mm] n\ge [/mm] 5 abschätzen:
[mm] $\sum\frac{n}{(n+2)(n+5)}\ge\frac{1}{3}\sum\frac{1}{n}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 So 04.11.2007 | | Autor: | jokerose |
Yep, so ist's klar. Vielen Dank.
Aber reicht das, wenn ich so die Reihe nur für [mm] n\ge [/mm] 5 abschätzen kann? Ich sollte doch die Reihe für n [mm] \ge [/mm] 1 abschätzen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 So 04.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo jokerose!
Die ersten 5 Glieder nehmen doch keinerlei Einfluss auf die Konvergenz bzw. Divergenz einer Reihe, da diese 5 Glieder als Summe immer einen endlichen Wert ergeben.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 So 04.11.2007 | | Autor: | jokerose |
Ja das stimmt. Danke.
Aber dann könnte man doch auch zum Beispiel schreiben:
[mm] n+7+\frac{10}{n}\le [/mm] 100n
und dies glit dann für alle n und nicht nur für n [mm] \ge [/mm] 5.
oder?
Das kommt dann ja schlussendlich aufs gleiche.
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Hi,
> Ja das stimmt. Danke.
> Aber dann könnte man doch auch zum Beispiel schreiben:
>
> [mm]n+7+\frac{10}{n}\le[/mm] 100n
>
> und dies glit dann für alle n und nicht nur für n [mm]\ge[/mm] 5.
> oder?
> Das kommt dann ja schlussendlich aufs gleiche.
Ja, das stimmt, dann hättest du als Vergleichsreihe halt [mm] $\frac{1}{100}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n}$
[/mm]
Ob da nun [mm] \frac{1}{3} [/mm] oder [mm] \frac{1}{100} [/mm] als Vorfaktor steht, es ändert nichts an der Divergenz der harmonischen Reihe
Das Ding strebt halt gegen [mm] \frac{1}{100}\cdot{}\infty=\infty
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 So 04.11.2007 | | Autor: | jokerose |
Hat das denn einen bestimmten Grund, weshalb du gerade [mm] n+7+\frac{10}{n}\le [/mm] 3n für n [mm] \ge [/mm] 5 gewählt hast?
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Hallo nochmal,
nein, ich wollte nur nicht so grob abschätzen
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 So 04.11.2007 | | Autor: | jokerose |
ok. dann ist jetzt also definitv alles geklärt bei mir.
Herzlichen Dank für die tolle Hilfe.
gruss jokerose
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