Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Mi 19.09.2007 | | Autor: | alexmart |
| Aufgabe | Untersuchen Sie:
(a) für welche reellen Zahlen x > 0 die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k!}{k^k} x^k [/mm] konvergiert bzw. divergiert.
(b) für welche reellen Zahlen x die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \wurzel{k} x^k [/mm] konvergiert bzw. divergiert.
(c) die Reihe [mm] \summe_{k=2}^{\infty} (\bruch{1}{k^3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(k-1)^3}) [/mm] auf Konvergenz bzw. Divergenz. |
Hallo,
im Zuge der Klausurvorbereitung und Durcharbeitung des Stoffes bin ich u.a. bei dieser Aufgabe auf Fragen gestoßen. Wir haben diese Aufgabe leider nicht an der Uni sorgfältig gerechnet, sodass ich um eine kleine Korrektur meiner Ansätze bzw. Lösungvorschläge bitten würde.
zu (a):
Also hier dachte ich, dass es sich bei dieser Reihe um eine unendliche geometrische Reihe handelt der Form [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] a [mm] x^k
[/mm]
Deshalb wäre für alle x < 1 die Reihe konvergent und für alle x [mm] \ge [/mm] 1 die Reihe divergent. Ist das korrekt?
zu (b):
Hier hätte ich den selben Lösungsweg wie bei (a) verwendet.
zu (c):
Hier würde ich sagen dass die Reihe nach Leibniz konvergiert, denn:
1.) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} \Rightarrow a_{k} [/mm] ist Nullfolge.
2.) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} \Rightarrow a_{k} [/mm] ist monoton fallend.
Für 2. Teilfolge gilt: [mm] a_{k-1} \ge a_{k}.
[/mm]
[mm] \bruch{1}{(k-1)^3} \ge \bruch{1}{k^3} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{k^3 - (k-1)^3}{k^3 (k-1)^3} \ge [/mm] 0
[mm] \gdw \bruch {3k^2 - 3k +1}{k^3 (k-1)^3} \ge0 [/mm]
(q.e.d)
Gilt nach analogem Weg auch für 1. Teilfolge.
Also Folge ist monoton fallend!
Kann man das so zeigen? Natürlich hätte ich den Weg in der Klausur für die 1. Teilfolge ebenfalls notiert.
Ich habe zu diesem Thema noch 2 allgemeine Fragen:
1.) Wie erkenne ich geometrische Reihen am Besten?
2.) Die harmonsiche Reihe ist definiert als [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k}.
[/mm]
Wäre auch [mm] \bruch{a}{k} [/mm] mit a [mm] \ge [/mm] 1 oder [mm] \bruch{1}{k^2} [/mm] eine harmonsiche Reihe?
2.) Wie geht man bei der Untersuchung von Reihen i.A. am geschicktesten vor?
Vielen Dank schonmal für die Antwort!
MFG
Alexander
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> Untersuchen Sie:
> (a) für welche reellen Zahlen x > 0 die Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k!}{k^k} x^k[/mm] konvergiert bzw.
> divergiert.
>
> (b) für welche reellen Zahlen x die Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \wurzel{k} x^k[/mm] konvergiert bzw.
> divergiert.
>
> (c) die Reihe [mm]\summe_{k=2}^{\infty} (\bruch{1}{k^3}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{(k-1)^3})[/mm] auf Konvergenz bzw. Divergenz.
>
> zu (a):
> Also hier dachte ich, dass es sich bei dieser Reihe um
> eine unendliche geometrische Reihe handelt der Form
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm] a [mm]x^k[/mm]
Das stimmt nicht, denn das, was Du in Deiner Antwort mit a bezeichnest, ist doch in der Reihe gar keine Konstante, denn die Reihe ist ja [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k!}{k^k} x^k= \bruch{1!}{1^1} x^1+ \bruch{2!}{2^2} x^2+ \bruch{3!}{3^3} x^3+...
[/mm]
Eine unendliche geometrische Reihe ist von der Form [mm] \summe_{n=...}^\infty a*b^n, [/mm] das stimmt, aber wie gesagt: a konstant.
Hiermit sollte auch schon Deine Frage nach den geometrischen Reihen beantwortet sein.
Mit [mm] \bruch{k!}{k^k} x^k [/mm] hast Du, ebenfalls wie bei der Reihe von b), eine Potenzreihe vorliegen.
Du solltest Dich in diesem Zusammenhang mit dem Begriff und der Bestimmung des Konvergenzradius vertraut machen. Der nämlich ist in der Aufgabe gefordert.
> zu (c):
> Hier würde ich sagen dass die Reihe nach Leibniz
> konvergiert,
Das Leibniz-Kriterium ist doch für alternierende Reihen, für Reihen der Gestalt [mm] \summe (-1)^na_n. [/mm] Solch eine Reihe haben wir hier nicht vorliegen, die Reihenglieder sind ja alle <0.
Ich würde hier mit dem Majorantenkriterium arbeiten. Finde eine konvergente Reihe, mit der Du [mm] |\bruch{1}{k^3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(k-1)^3}) [/mm] nach oben abschätzen kannst
>
> Ich habe zu diesem Thema noch 2 allgemeine Fragen:
>
> 1.) Wie erkenne ich geometrische Reihen am Besten?
s.o.
> 2.) Die harmonsiche Reihe ist definiert als
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k}.[/mm]
> Wäre auch [mm]\bruch{a}{k}[/mm]
> mit a [mm]\ge[/mm] 1
Wenn Dein a konstant ist, dann ja, dann ist ja [mm] \summe \bruch{a}{k}=a\summe\bruch{1}{k}
[/mm]
oder [mm]\bruch{1}{k^2}[/mm] eine harmonsiche Reihe?
Nein, die nicht. Die hat ja auch völlig andere Eigenschaften!
[mm] \summe\bruch{1}{k} [/mm] divergiert, [mm] \summe\bruch{1}{k^2} [/mm] konvergiert. Letzteres muß man im Schatzkasten haben, man braucht das oft zum Abschätzen.
> 2.) Wie geht man bei der Untersuchung von Reihen i.A. am
> geschicktesten vor?
Diese Frage ist sehr schwer zu beantworten. Am geschicktesten ist es, ganz viele Reihen gerechnet zu haben, damit man die Standardtricks und Abschätzungen kennt.
Man sollte sich immer überzeugen, ob in [mm] \summe a_n [/mm] die Folge [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist. Wenn das nicht der Fall ist, hat man viel Arbeit gespart, denn man weiß sofort, daß sie nicht konvergiert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Mi 19.09.2007 | | Autor: | alexmart |
Hallo Angela,
erstmal vielen Dank!
Ich habe mir jetzt mal die Geschichte mit den Konvergenzradien angeschaut.
Also nochmal zu (a):
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{k!}{k^k} |x-x_{0}|^n [/mm]
mit [mm] \bruch{k!}{k^k} [/mm] = [mm] a_{n}.
[/mm]
Aus r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|
[/mm]
folgt nach einigen Umformungen r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | (1 + [mm] \bruch{1}{a_{k}}) [/mm] ^n | = e
So dann habe ich also den konvergenzradius bestimmt.
Nur die Interpretation ist mir noch net 100% klar.
Ich hätte jetzt als antwort einfach in der Klausur gesagt:
|x - [mm] x_{0}| [/mm] < e [mm] \rightarrow [/mm] Reihe ist absolut konvergent.
|x - [mm] x_{0}| [/mm] > e [mm] \rightarrow [/mm] Reihe ist divergent.
|x - [mm] x_{0}| [/mm] = e [mm] \rightarrow [/mm] Reihe ist seperat zu untersuchen. Nur wie?
Kannst du mir an diesem Punkt bitte weiterhelfen?
Ich finde das Thema schwer.
Die (b) geht ja analog. Da habe ich für r = 1 raus.
Interpretation ist mir wieder unklar.
Wie gesagt wäre dir dankbar, wenn du mir das an einem der beiden Beispiele verdeutlichst und sagst wie die Interpretation in der Klausur sein sollte.
Bei der (c) habe ich keine Idee.
Kann man die Vorgehensweise ungefähr so festlegen?
Also zuerst untersuche ich [mm] a_{k} [/mm] auf Nullfolge.
Wenn keine Nullfolge, dann kann ich sofort sagen divergent.
Ansonsten würde ich so weitermachen:
1.)
Ich schaue nach, ob ich mit den Eigenschaften der Potenzreihe (also Konvergenzradien), geomertischen Reihe, harmonischen Reihe, der harmonischen alternierenden Reihe weiter komme.
2.)
Wenn nein, dann versuche ich bei alterniereden Reihen das Leibnizkriterium. Andernfalls das Majoranten- bzw. das Quotientenkriterium.
Kannst du mir hier sagen, wann welches zu bevorzugen ist?
Gilt das Leibnizkriterium wirklich nur bei alternierenden Reihen? Wusste ich wirklich nicht.
Ich wäre wirklich nochmal für eine Antwort dankbar. Ich werde natürlich noch ein paar Reihen üben und hoffe das ich mit diesem kleinen Fahrplan einigermaßen durch die Klausur komme. Ich bin auf jeden Fall, beosnders nach der Antwort auf obige Fragen, wieder um einiges schlauer.
Deswegen erstmal ganz vielen Dank!
Das Forum bringt mir mehr als die Übungsstunden an der Uni.
MFG
Alexander
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Hallo Alexander,
> Also nochmal zu (a):
>
> [mm]\summe_{\red{k}=1}^{\infty} \bruch{k!}{k^k} |x-x_{0}|^{\red{k}}[/mm]
> mit [mm]\bruch{k!}{k^k}[/mm] = [mm]a_{n}.[/mm]
>
> Aus r = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
>
> folgt nach einigen Umformungen r =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] | (1 + [mm]\bruch{1}{\red{n}})[/mm] ^n | =
> e ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
gut!!
> So dann habe ich also den konvergenzradius bestimmt.
>
> Nur die Interpretation ist mir noch net 100% klar.
> Ich hätte jetzt als antwort einfach in der Klausur gesagt:
>
> |x - [mm]x_{0}|[/mm] < e [mm]\rightarrow[/mm] Reihe ist absolut konvergent. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Hier ist ja [mm] $x_0=0$, [/mm] eine allg. Potenzreihe ist von der Gestalt [mm] $\sum a_n(x-x_0)^n$, [/mm] deine [mm] $\sum a_nx^n$
[/mm]
Also absolute Konvergenz für $|x|<e$
> |x - [mm]x_{0}|[/mm] > e [mm]\rightarrow[/mm] Reihe ist divergent.
> |x - [mm]x_{0}|[/mm] = e [mm]\rightarrow[/mm] Reihe ist seperat zu
> untersuchen. Nur wie?
setze $x=e$ in die Reihe ein, also [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{k!}{k^k}e^k$
[/mm]
Untersuche die Reihe nun wie eine "normale" Reihe auf Konvergenz/Divergenz mit den dir bekannten Kriterien, also Wurzelkriterium, Quotientenkriterium, Majorantenkriterium oder was auch immer...
>
> Kannst du mir an diesem Punkt bitte weiterhelfen?
> Ich finde das Thema schwer.
ist es auch am Anfang, aber wie Angela schon sagte, je mehr Reihen und Tricks du gesehen hast, umso leichter wird's dir fallen 
>
> Die (b) geht ja analog. Da habe ich für r = 1 raus.
hab ich auch raus
> Interpretation ist mir wieder unklar.
wie oben folgt absolute Konvergenz für $|x|<1$ und Divergenz für $|x|>1$
Für $x=1$ setze wieder in die Reihe ein: [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sqrt{k}\cdot{}1^k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sqrt{k}$
[/mm]
Wieder mit den dir bekannten Kriterien untersuchen...
> Wie gesagt wäre dir dankbar, wenn du mir das an einem der
> beiden Beispiele verdeutlichst und sagst wie die
> Interpretation in der Klausur sein sollte.
>
> Bei der (c) habe ich keine Idee.
>
> Kann man die Vorgehensweise ungefähr so festlegen?
>
> Also zuerst untersuche ich [mm]a_{k}[/mm] auf Nullfolge.
> Wenn keine Nullfolge, dann kann ich sofort sagen
> divergent.
>
> Ansonsten würde ich so weitermachen:
> 1.)
> Ich schaue nach, ob ich mit den Eigenschaften der
> Potenzreihe (also Konvergenzradien), geomertischen Reihe,
> harmonischen Reihe, der harmonischen alternierenden Reihe
> weiter komme.
Achtung, das Ding in (c) ist KEINE Potenzreihe, kommt ja kein $x$ drin vor.
> 2.)
> Wenn nein, dann versuche ich bei alterniereden Reihen das
> Leibnizkriterium. Andernfalls das Majoranten- bzw. das
> Quotientenkriterium.
>
> Kannst du mir hier sagen, wann welches zu bevorzugen ist?
> Gilt das Leibnizkriterium wirklich nur bei alternierenden
> Reihen? Wusste ich wirklich nicht.
Das kann man allg. schwer sagen, da bekommst du nen "Blick" für, wenn du einige Reihen mal verarztet hast..
> Ich wäre wirklich nochmal für eine Antwort dankbar. Ich
> werde natürlich noch ein paar Reihen üben und hoffe das ich
> mit diesem kleinen Fahrplan einigermaßen durch die Klausur
> komme. Ich bin auf jeden Fall, beosnders nach der Antwort
> auf obige Fragen, wieder um einiges schlauer.
>
> Deswegen erstmal ganz vielen Dank!
> Das Forum bringt mir mehr als die Übungsstunden an der
> Uni.
>
> MFG
> Alexander
>
Noch ne Alternative zu (c).
Wenn du Konvergenz vermutest, kannst du ja auch mal schauen, wie das mit den Partialsummen aussieht, es ist ja [mm] $\sum\limits_{k=2}^{\infty}a_k=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=2}^{n}a_k$
[/mm]
Wenn du mal solch eine Partialsumme aufstellst, ist das - wenn ich das richtig gemacht habe - eine nette Teleskopsumme, in der sich fast alles weghebt und du so leicht den Grenzwert der Reihe bestimmen und damit ihre Konvergenz zeigen kannst.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Mi 19.09.2007 | | Autor: | alexmart |
Vielen Dank an euch beide! mir ist die Sache jetzt viel klarer und sympathischer!
Ich werde jetzt noch etwas üben. Danke!
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Hallo Alexander!
Bei Aufgabe c.) kannst Du auch einen Alternativweg beschreiten, indem Du Dir die Partialsummen [mm] $s_n [/mm] \ := \ [mm] \summe_{k=2}^{\red{n}}\left[\bruch{1}{k^3} - \bruch{1}{(k-1)^3}\right]$ [/mm] betrachtest und anschließend die Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] durchführst.
Denn [mm] $s_n$ [/mm] stellt hier eine sogenannte "Telekopsumme" dar, bei der die meisten auzusummierenden Glieder entfallen, da sie sich gegenseitig aufheben:
[mm] $$s_n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=2}^{n}\left[\bruch{1}{k^3} - \bruch{1}{(k-1)^3}\right] [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{1}{2^3} \ \red{-\bruch{1}{1^3}}}_{k \ = \ 2}+\underbrace{\bruch{1}{3^3}-\bruch{1}{2^3}}_{k \ = \ 3}+\underbrace{\bruch{1}{3^3}-\bruch{1}{4^3}}_{k \ = \ 4}+...+\underbrace{\red{\bruch{1}{n^3}}-\bruch{1}{(n-1)^3}}_{k \ = \ n} [/mm] \ = \ ...$$
Siehst Du nun, was übrig bleibt?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mi 19.09.2007 | | Autor: | alexmart |
Hallo Roadrunner,
danke für deinen Beitrag.
Meiner Meinung nach bleibt übrig:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (- [mm] \bruch{1}{1^3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n^3}) [/mm] = -1
Damit ist die Reihe konvergent.
Richtig?
Wenn ja, würde folgender Weg doch auch stimmen, den ich bei wikipedia gefunden habe:
[mm] \summe_{i=2}^{\infty} (b_{n} [/mm] - [mm] b_{n+1}) [/mm] nennt man Teleskopreihe. Wenn [mm] b_{n} [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] gegen eine zahl L konvergiert, konvergiert die Reihe gegen den Wert [mm] b_{1} [/mm] - L.
In diesem Fall also:
[mm] \summe_{i=2}^{\infty} (\bruch{1}{k^3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(k-1)^3} [/mm] = [mm] \summe_{i=2}^{\infty} (b_{n} [/mm] - [mm] b_{n-1}) [/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{i=2}^{\infty} [/mm] (- [mm] b_{n-1} [/mm] + [mm] b_{n}) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] - [mm] \summe_{i=2}^{\infty} (b_{n-1} [/mm] - [mm] b_{n}) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Teleskopreihe!
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (- [mm] \bruch{1}{k^3} [/mm] ) = - 0 = 0 = L
[mm] \Rightarrow [/mm] Reihe konvergiert gegen - [mm] b_{1} [/mm] - L = -1 - 0 = -1
Ist beides falsch, helft mir bitte nochmal auf die Sprünge. :)
Mir würde der 2. Weg irgendwie leichter fallen, obwohl beides ja schon dasselbe ist.
Bitte um kurzes Feedback!
MFG
Alexander
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Mi 19.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich kann nur sagen, dass
> Meiner Meinung nach bleibt übrig:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (- [mm]\bruch{1}{1^3}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{n^3})[/mm] = -1
> Damit ist die Reihe konvergent.
> Richtig?
Der Weg von Wikipedia ist meines Erachtens gleich dem vom Roadrunner.
In beiden Wegen wird deutlich, dass nur das erste und letzte Glied übrig bleiben und der Rest "wegfällt."
Und wie du siehst, kommst du beide Male auf ein Ergebnis: -1.
MfG barsch
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