Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Fr 10.08.2007 | | Autor: | fisch000 |
| Aufgabe | Man untersuche die Reihen auf Konvergenz:
a) [mm] \summe_{n=1}^{n} \bruch{(\wurzel{n}-2)^{2}}{n^{2}-\wurzel{n^{4}+1}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{n} \bruch{a^{2n}}{1+a^{4n}} [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] |
Hallo Leute,
eins vorweg: die Summen laufen bis unendlich, wusste nicht wie ich da shier darstellen soll. Habe für a) Divergenz anhand Minorantenkriteriums herausgefunden, kam zuerst auf folgenden Bruch: [mm] \bruch{n-4\wurzel{n}+4}{2n^{2}+1} \Rightarrow [/mm] Divergenz
Bei der b) habe ich durch das Wurzelkriterium folgendes rausbekommen: [mm] \bruch{a^{2}}{1+a^{4}} [/mm] = [mm] \bruch{1/a^{2}}{1/a^{4}+1} \le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] Konvergenz.
Habe ich irgendwelche Fehler und falls ja welche ? Wäre für jede Hilfestrellung dankbar.
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Fr 10.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hi Fisch!
@a) Bei der (a) kannst Du direkt sehen, dass die Folge der Summanden für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
keine Nullfolge ist: Die Nenner streben gegen 0 und die Zähler gegen unendlich.
Also ist "Divergenz" schon die richtige Antwort.
@b) Für große $n$ fällt das "1+" unter den Tisch. Wann konvergiert
[mm] $\sum_{n=0}^\infty \left( {a^{-2}}\right)^n$ [/mm] ?
Stichwort: Geometrische Reihe!
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:46 Fr 10.08.2007 | | Autor: | fisch000 |
Sorry aber wieso kann ich nicht das Schema benutzen wie ich es gemacht habe, das müsste ja auch richtig sein. Bei deiner vorgeschlagenen Reihe müsste sie ja für alle n > 1/2 konvergieren, weil sie ansonsten eine harmonische Reihe ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Fr 10.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo fisch!
Wie bist Du überhaupt auf die Umformung für Dein vermeintliches Minorantenkriterium gekommen? Und wie schätzt Du hier ab?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Sa 11.08.2007 | | Autor: | fisch000 |
Hi,
deine Frage ist berechtigt. Habe mir totalen Blödsinn beim abschätzen ausgedacht. Am besten mal ganz schnell vergessen. Kann man hier überhaupt das Minorantenkriterium benutzen oder reicht die Begründung von kochmn ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Sa 11.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo fisch!
Ein notwendiges Kriterium für die Reihenkonvergenz [mm] $\summe^{\infty}a_n$ [/mm] ist die Eigenschaft [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \text{ist Nullfolge}$ [/mm] .
Ist diese Bedingung (wie hier) nicht erfüllt, folgt daraus automatisch die Divergenz der Reihe.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Sa 11.08.2007 | | Autor: | fisch000 |
Ich Idiot habe leider einen Fehler in der Aufgabenstellung gemacht. Im Nenner muss es [mm] n^{2}+ \wurzel{n^{4}+1} [/mm] lauten. Ändert sich dadurch etwas an deiner Antwort oder stimmt es dann trotzdem noch ?
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> Ich Idiot habe leider einen Fehler in der Aufgabenstellung
> gemacht. Im Nenner muss es [mm]n^{2}+ \wurzel{n^{4}+1}[/mm] lauten.
> Ändert sich dadurch etwas an deiner Antwort oder stimmt es
> dann trotzdem noch ?
In diesem Falle bilden die Glieder eine Nullfolge, weshalb das notwendige Kriterium erfüllt ist (aber nicht ausreicht, die Konvergenz der Reihe zu zeigen: effektiv divergiert sie natürlich trotzdem, weil es sich um eine ungefähr harmonische Reihe handelt).
Das heisst: es stimmt noch immer, dass die Reihe divergiert. Nur das Argument, dass die Glieder nicht einmal eine Nullfolge bilden würden, ist nicht brauchbar, um die Divergenz dieser Reihe nachzuweisen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Sa 11.08.2007 | | Autor: | fisch000 |
Danke für deine Antwort. Das Minorantenkriterium habe ich wegen der ungefähren harmonischen Reihe genommen, denn wenn ich den Zähler ausklammere habe ich ja als größte Potenz von n eine 1, und im Nenner eine 2. Wenn ich dann das noch kürze komme ich auf 1/n und somit zur harmonischen Reihe die ja divergiert. Ist diese Argumentation in Ordnung oder muss ich das irgendwie anders nachweisen.
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> Danke für deine Antwort. Das Minorantenkriterium habe ich
> wegen der ungefähren harmonischen Reihe genommen, denn wenn
> ich den Zähler ausklammere habe ich ja als größte Potenz
> von n eine 1, und im Nenner eine 2. Wenn ich dann das noch
> kürze komme ich auf 1/n
Nur: ganz exakt dieses erhälst Du ja nicht. Ansonsten würdest Du auch kein Problem sehen, nicht?
> und somit zur harmonischen Reihe
> die ja divergiert. Ist diese Argumentation in Ordnung oder
> muss ich das irgendwie anders nachweisen.
Die Überlegung ist im Prinzip richtig und ich für meinen Teil glaube Dir ohne weiteres, dass Du damit die Divergenz der Reihe gezeigt hast.
Aber Dein Lehrer könnte eventuell eine sorgfältigere, formalere Argumentation einfordern. Das könnte man hier in etwa so machen: das allgemeine Glied Deiner Reihe von Teilaufgabe a) lässt sich auf die Form:
[mm]\frac{1}{n}\cdot \frac{\big(1-\frac{2}{\sqrt{n}}\big)^2}{1+\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}}[/mm]
bringen. Weil der zweite Faktor für [mm] $n\rightarrow +\infty$ [/mm] gegen $1$ geht, gibt es eine Konstante $k>0$ so dass (für Indices $n$ grösser als ein gewisser Index [mm] $n_0$) [/mm] gilt:
[mm]k\cdot\frac{1}{n}\leq \frac{\big(\sqrt{n}-2\big)^2}{n^2+\sqrt{n^4+1}}[/mm]
Und damit hast Du, etwas formaler nun, gezeigt, dass [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{k}{n}$ [/mm] eine divergente Minorante ist (zumindest ab einem gewissen Index [mm] $n_0$ [/mm] ab dem die obige Abschätzung des Reihengliedes von unten gilt).
Wahr ist aber auch, dass es sich hier um einen Spezialfall einer allgemeinen Schlussweise handelt: falls für zwei Reihen [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n$ [/mm] und [mm] $\sum_{n=1}^\infty b_n$ [/mm] gilt, dass [mm] $\lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n}=1$ [/mm] ist, dann haben die beiden Reihen dasselbe Konvergenzverhalten: entweder konvergieren beide oder es divergieren beide.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Sa 11.08.2007 | | Autor: | fisch000 |
Danke für eure ausführlichen Antworten, haben mir so einiges klargemacht. Schönes Wochenende noch.
MfG
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> Man untersuche die Reihen auf Konvergenz:
> a) [mm]\summe_{n=1}^{n} \bruch{(\wurzel{n}-2)^{2}}{n^{2}-\wurzel{n^{4}+1}}[/mm]
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> b) [mm]\summe_{n=1}^{n} \bruch{a^{2n}}{1+a^{4n}}[/mm] a [mm]\in \IR[/mm]
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> Hallo Leute,
> eins vorweg: die Summen laufen bis unendlich, wusste nicht
> wie ich da shier darstellen soll.
Es ist zwar richtig, dass, im Falle $|a|>1$ gilt: "Für große fällt das "1+" unter den Tisch.
Aber wir müssen auch den Fall $|a|<1$ richtig behandeln.
Ich würde zuerst das Reihenglied auf eine für die Abschätzung einfachere Form bringen. Dazu möchte ich durch [mm] $a^{2n}$ [/mm] dividieren, was natürlich [mm] $a\neq [/mm] 0$ voraussetzt.
Also nehmen wir diesen Fall vorweg: für $a=0$ konvergiert die Reihe.
Sei nun [mm] $a\neq [/mm] 0$. Dann ist das Reihenglied gleich
[mm]\frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a^{2n}}[/mm]
Ist nun $|a|=1$, so ist das Reihenglied offenbar konstant $=2$ und daher divergiert in diesem Fall die Reihe.
Ist $|a|>1$, so ist sie wegen:
[mm]0\leq \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a^{2n}}\leq \frac{1}{a^{2n}}[/mm]
konvergent, denn dann besitzt sie die konvergente Majorante [mm] $\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{a^2}\right)^n$.
[/mm]
Ist $|a|<1$, so ist sie wegen:
[mm]0\leq \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a^{2n}}\leq \frac{1}{\;\frac{1}{a^{2n}}\;}=a^{2n}[/mm]
ebenfalls konvergent, denn dann besitzt sie die konvergente Majorante [mm] $\sum_{n=0}^\infty (a^2)^n$.
[/mm]
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