Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:34 Fr 01.06.2007 | | Autor: | Pilz007 |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Leider habe ich keine Lösungsansätze für diese Aufgabe, habe zwar herumgeknobbelt, aber ...
Man hat eine konvergente Reihe [mm] u_n [/mm] mit positiven Gliedern und mann muss zeigen, dass eine monoton wachsende Folge [mm] c_n [/mm] positiver Zahlen mit $ [mm] \lim_{n \to \infty}c_n= \infty [/mm] $ existiert, sodass [mm] c_n*u_n [/mm] konvergie
Vielen Dank!!
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Kannst Du den genauen Aufgabentext posten?
So kann man nicht richtig verstehen, worum es geht.
> Man hat eine konvergente Reihe [mm]u_n[/mm] mit positiven Gliedern
Meinst Du [mm] \summe_{n=1}^{\infty}u_n [/mm] mit [mm] u_n>0? [/mm] Oder etwas anderes?
> und mann muss zeigen, dass eine monoton wachsende Folge [mm]c_n[/mm]
> positiver Zahlen mit [mm]\lim_{n \to \infty}c_n= \infty[/mm]
> existiert,
> sodass [mm]c_n*u_n[/mm] konvergie
Was soll konvergieren?
Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}c_n*u_n?
[/mm]
Oder die Folge [mm] (b_n) [/mm] mit [mm] b_n:=c_n*u_n?
[/mm]
Für letzteres würde ich über [mm] c_n:=\bruch{1}{u_n} [/mm] nachdenken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Fr 01.06.2007 | | Autor: | Pilz007 |
also der genaue Wort laut ist: [mm] u_n [/mm] sie eine konvergente Reihe mit positiven Gliedern ($ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}u_n [/mm] $ und [mm] $u_n>0$ [/mm] )
. Man zeige, dass eine streng monoton wachsende Folge [mm] c_n [/mm] positiver Zahlen mit $ [mm] \lim_{n \to \infty}c_n= \infty [/mm] $ existiert, sodass die Reihe $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} c_n\cdot{}u_n [/mm] $ konvergiert.
Die Angabe hat mich auch schon verwirrt!
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Wir dürfen die [mm]c_n[/mm] durchaus in der Form [mm]c_n=2^k[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] gehen lassen, sofern wir dabei den Exponenten [mm]k[/mm] genügend langsam grösser werden lassen. Zur Wahl von [mm]k[/mm] für gegebenen Folgenindex [mm]n[/mm] schlage ich etwa folgende Idee vor:
Da [mm]\sum_{n=1}^\infty u_n[/mm] konvergent ist, existiert eine streng monton wachsende Folge von Indices [mm](n_k)_{k\in \IN}[/mm] mit der Eigenschaft, dass gilt
[mm]\sum_{n=n_k}^\infty u_n < \frac{1}{2^{k^2}}s[/mm] wobei [mm]s=\sum_{n=1}^\infty u_n[/mm].
Aufgrund dieser Wahl der [mm]n_k[/mm] können wir nun die [mm]c_n[/mm] wie folgt definieren:
[mm]c_n := \begin{cases}2^k,& \text{falls } n_k \leq n < n_{k+1}\\ 1, &\text{sonst}\end{cases}[/mm]
Mit dieser Wahl der [mm]c_n[/mm] ergibt sich die Konvergenz der Summme [mm]\sum_{n=1}^\infty c_n u_n[/mm] aufgrund folgender Abschätzung:
[mm]\sum_{n=1}^\infty c_n u_n < 1\cdot s+\frac{1}{2}\cdot s+\cdots + \frac{1}{2^k}s+\cdots = 2s < \infty[/mm]
wie verlangt, denn es gilt ja:
[mm]\sum_{n=n_k}^{n_{k+1}-1} c_n u_n \leq \sum_{n=n_k}^\infty 2^k \cdot u_n < 2^k \cdot \frac{1}{2^{k^2}}s = \frac{1}{2^k}s[/mm].
Hmm, also ich denke die Grundidee sollte richtig sein. Vielleicht habe ich in der Hast meiner Mittagspause eine Kleinigkeit bei der Definition der [mm]c_n[/mm] nicht ganz sauber formuliert: Du kannst es ja besser machen 
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