Konvergenz von Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Do 02.09.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich bereite mich gerade auf meine ANA1/2 - Klausur vor und bin bei einer alten Klausur auf auf eine Aufgabe gestossen, bei der ich nicht weiterkomme.
[mm](a_k)_{k>0}[/mm] sei eine relle, konvergente Folge mit [mm]a_k \ne 0[/mm] und [mm]\limes_{k \to \infty}a_k = a > 0[/mm]
Zu zeigen:
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} |a_{k+1} - a_k| konv.
\Rightarrow
\summe_{k=1}^{\infty} |1/a_{k+1} - 1/a_k| konv.[/mm]
Meine ersten Überlegungen waren:
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} |a_{k+1} - a_k| konv.[/mm],
also muss [mm] (|a_{k+1} [/mm] - [mm] a_k|)_{k>0} [/mm] eine Nullfolge sein, was man auch leicht zeigen kann.
Ebenso ist [mm] (|1/a_{k+1} [/mm] - [mm] 1/a_k|)_{k>0} [/mm] eine Nullfolge.
Nun weiss ich aber nicht so recht, wie ich schließen soll, dass die entspr. Reihe auch konvergent (sogar absolut konv) ist.
Gängige Kriterien wie Majoranten-, Quotienten- oder Wurzelkriterium bringen mich ja nicht weiter!
Bin für jeden Tipp dankbar!
Gruss,
Wurzelpi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Do 02.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Wurzelpi!
Nach Voraussetzung gibt es für [mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] \frac{a}{2}$ [/mm] ein [mm] $N_0(\varepsilon)$, [/mm] so dass für alle $k [mm] \in \IN$, [/mm] $k [mm] \ge N_0$, [/mm] gilt:
[mm] $|a_k [/mm] - a | < [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \frac{a}{2}$,
[/mm]
also:
[mm] $a_k [/mm] > [mm] \frac{a}{2}$.
[/mm]
Es sei nun $N > [mm] N_0(\varepsilon)$ [/mm] beliebig.
Dann gilt:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^N \big\vert \frac{1}{a_{k+1}} [/mm] - [mm] \frac{1}{a_k} \big\vert$
[/mm]
$= [mm] \sum_{k=1}^{N_0-1} \big\vert \frac{1}{a_{k+1}} [/mm] - [mm] \frac{1}{a_k} \big\vert [/mm] + [mm] \sum_{k=N_0}^N \big\vert \frac{1}{a_{k+1}} [/mm] - [mm] \frac{1}{a_k} \big\vert [/mm] $
Der erste Summand ist endlich und unabhängig von $N$. Wir beschränken uns daher im Folgenden auf den zweiten Summanden. Es gilt:
[mm] $\sum_{k=N_0}^N \big\vert \frac{1}{a_{k+1}} [/mm] - [mm] \frac{1}{a_k} \big\vert [/mm] $
$= [mm] \sum_{k=N_0}^N \big\vert \frac{a_k - a_{k+1}}{a_{k+1}a_k} \big\vert$
[/mm]
[mm] $\le \frac{4}{a^2} \sum_{k=N_0}^N \vert a_k [/mm] - [mm] a_{k+1} \vert$.
[/mm]
Nach Voraussetzung konvergiert die Reihe für $N [mm] \to \infty$, [/mm] womit alles gezeigt ist.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Do 02.09.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Stefan!
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Mittlerweile habe ich den gleiche Lösungsweg gefunden!
Gruss,
Wurzelpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Do 02.09.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo nochmal!
Ich glaube, dass ich doch noch einen Lösungsweg gefunden habe!
ich poste den mal als Frage!
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Da die Folge [mm](a_k)[/mm] einen positiven Grenzwert hat, gibt es ein c>0, so daß [mm]a_k \geq c[/mm] für fast alle k.
Jetzt bringe die Brüche auf den Hauptnenner und schätze ab.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Do 02.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Leopold!
Genauso habe ich es doch gemacht. (?)
Liebe Grüße
Stefan
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