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Konvergenz von Reihen: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Do 24.11.2005
Autor: Edi1982

Hallo Leute.

Ich muss bei folgenden Reihen die Konvergenz nachweisen und die Grenzwerte bestimmen:

[mm] \summe_{n=1}^{ \infty}\bruch{1}{4n^2-1} [/mm]

[mm] \summe_{n=2}^{ \infty}\bruch{1}{n^3-n} [/mm]

[mm] \summe_{n=1}^{ \infty}\bruch{n}{2^n} [/mm]

Ich komme nicht weiter und brauche unbedingt ein Paar Tipps.

        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Literaturhinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Do 24.11.2005
Autor: Leibniz

Hallo!

Ein Tip:

Die dritte und - zumindest ähnlich - auch die erste stehen im "Forster" mit Lösungsweg! ;-)

HTH,

Leibniz

Bezug
        
Bezug
Konvergenz von Reihen: allgemeine Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Do 24.11.2005
Autor: Loddar

Hallo Edi!


Die Konvergenz der einzelnen Reihen kannst Du mit dem Majorantenkriterium (1. + 2. Reihe) sowie dem Quotientenkriterium nachweisen (3. Reihe).

Siehe auch [mm] $\rightarrow$[/mm]  []Konvergenzkriterien


Für die Bestimmung der Grenzwerte solltest Du bei den ersten beiden Reihen die Brüche per Partialbruchzerlegung aufsplitten und dann die einzelnen Summen näher betrachten (Stichwort: Teleskopsumme).


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Fehler?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:45 Do 24.11.2005
Autor: Didi

Bei der dritten Reihe funktioniert das Quotientenkriterium nicht, da man für n=1 keine Aussage machen kann! Hier könnte das Wurzelkriterium funktionieren. Meine aber, dass man bei den ersten beiden auch das Quotientenkriterium anwenden kann.

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Genau andersherum!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:50 Do 24.11.2005
Autor: Loddar

Hallo Didi!


Mit dem Quotientenkriterium erhalte ich bei der 3. Aufgabe den Wert [mm] $\bruch{1}{2} [/mm] \ < \ 1$ !


Bei den anderen beiden scheitere ich jedoch mit dem Quotientenkriterium, da hier jeweils der Wert $1_$ entsteht.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:06 Do 24.11.2005
Autor: Didi

Hmm,..
Wenn ich das Quotientenkriterium anwende, dann erhalte ich [mm] \bruch{n+1}{2n} [/mm] .Setzt man n=1, so kommt 1 heraus und 1 ist nicht <p<1 außerdem kann man für q=1 meines Wissens keine Aussage machen.
Oder hab ich mich beim Anwenden des Kriteriums verrechnet???

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: lim sup
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:49 Fr 25.11.2005
Autor: Loddar

Hallo Didi!


Deine Umformung/Zusammenfassung des Qutotientenkriteriums ist richtig.

Aber bei diesem entstehenden Ausdruck [mm] $\bruch{n+1}{2*n}$ [/mm] interessiert ja nicht der Wert für irgendein $n_$ (so wie Du $n \ = \ 1$ eingesetzt hast) sondern der entsprechende Grenzwert [mm] $\limsup$ [/mm] .

[guckstduhier]  []Quotientenkriterium


Und da gilt für unsere Reihe:

[mm] $\limsup_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{2*n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] \ < \ 1$   [mm] $\Rightarrow$ [/mm]   Konvergenz



Nun klar(er) und [lichtaufgegangen] ?

Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:01 Fr 25.11.2005
Autor: Didi

Oh ...

Dachte, dass der Ausdruck für jedes n unter diesem q bleiben muss.
Und da die Reihe in meiner AnaI-Vorlesung erst bei n=2 startete war mein Glaube, dass das Quotientenkriterium bei einem Startwert von n=1 nicht funktioniert, bestärkt.
Hab' nochmal in nem Buch nachgeschaut und gemerkt, dass ich das "ab einem Index [mm] n_{0} [/mm] " immer überlesen habe.
Danke und ein Glück, dass du mich darauf aufmerksam gemacht hast!

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