Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Monschn |
Hallo beisammen,
ich bin immer noch vergeblich am kämpfen mit meinen Konvergenzaufgaben.
Wie könnte ich denn zum Beispiel beweisen, dass folgende Reihe konvergiert.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{2n^{2}+n}{3n^{2}+1})^{n}
[/mm]
Welches Kriterium könnte ich zum Konvergenzbeweis verwenden?
Kann ich die Klammer als x betrachten und dann das Majorantenkriterium verwenden?!
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Wenn ich weiß, dass [mm] (a_{n}) [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist und die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] konvergiert.
Warum ist dann [mm] (na_{n}) [/mm] eine Nullfolge?!
Wie kann ich das mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums zeigen??
Vielen Dank für Tipps!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
Liebe Grüße,
Simone
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Hallo Monschn!
> Wie könnte ich denn zum Beispiel beweisen, dass folgende
> Reihe konvergiert.
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{2n^{2}+n}{3n^{2}+1})^{n}[/mm]
>
> Welches Kriterium könnte ich zum Konvergenzbeweis
> verwenden?
> Kann ich die Klammer als x betrachten und dann das
> Majorantenkriterium verwenden?!
Hier bietet sich (nein, es drängt sich förmlich auf  ) das ![[]](/images/popup.gif) Wurzelkriterium an, da wir ja einen Ausdruck $( \ ... \ [mm] )^n$ [/mm] haben.
Und durch [mm] $\wurzel[n]{ \ \left| \ a_n \ \right| \ }$ [/mm] würde genau dieser Exponent ja dann entfallen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Do 17.11.2005 | | Autor: | saxneat |
Tach Moschn!
Deine [mm] \summe a_{n} [/mm] konvergiert genau dann wenn es zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] n(\epsilon) [/mm] gibt, so dass für alle [mm] m>n_{0}\ge n(\epsilon) [/mm] gilt:
[mm] |s_{m}-s_{n_{0}}|=|a_{n_{0}+1}+...+a_{m}|<\epsilon.
[/mm]
sei nun [mm] s_{m}=s_{n_{0}+n}
[/mm]
[mm] |s_{m}-s_{n_{0}}|=|(s_{m}-s_{m-1})+(s_{m-1}-s_{m-2})+...+(s_{m-n+1}-s_{n_{0}})|\le|s_{m}-s_{m-1}|+...+|s_{m-n+1}-s_{n_{0}}|=|a_{m}|+...+|a_{n_{0}}|
sei nun [mm] \varepsilon=\epsilon*n
[/mm]
da n>0
[mm] n|a_{n_{0}}|=|n*a_{n_{0}}|=|n*a_{n_{0}}-0|
woraus die Konvergenz gegen 0 von [mm] n*a_{n} [/mm] folgen sollte
MfG
saxneat
P.S hoffe das wird noch mal kontrolliert bin mir auch n bissel unsicher
nochmals Gruß s.
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