Konvergenz von Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:48 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Ich hätte mal eine Frage zu folgender Aufgabenstellung:
Unter Benutzung des Konvergenzintervalles von Potenzreihen gebe man in den folgenden Reihen einerseits möglichst viele x-Werte an, wo Konvergenz gesichert ist, und andererseits möglichst viele x-Werte mit gesicherter Divergenz:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das ist die Musterlösung. Ich verstehe bis zur Divergenz alles, allerdings ist mir dann unklar, warum c -> 0 gehen soll.
Schließlich wird der Konvergenzradius gebildet durch:
1/r = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{c_{k+1}}{c_{k}}
[/mm]
Der Bruch ergibt ja einen Wert nahe 1, da das Anwachsen der Funktion aufgrund ihrer Stetigkeit sehr gering sein muss.
Warum geht c dann aber gegen 0?
Das ist mir ein Rätsel.
Könnte das jmd. für mich lösen?
Ich wäre sehr dankbar.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Maiko,
> Unter Benutzung des Konvergenzintervalles von Potenzreihen
> gebe man in den folgenden Reihen einerseits möglichst viele
> x-Werte an, wo Konvergenz gesichert ist, und andererseits
> möglichst viele x-Werte mit gesicherter Divergenz:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Das ist die Musterlösung. Ich verstehe bis zur Divergenz
> alles, allerdings ist mir dann unklar, warum c -> 0 gehen
> soll.
> Schließlich wird der Konvergenzradius gebildet durch:
>
> 1/r = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{c_{k+1}}{c_{k}}[/mm]
>
> Der Bruch ergibt ja einen Wert nahe 1, da das Anwachsen der
> Funktion aufgrund ihrer Stetigkeit sehr gering sein muss.
> Warum geht c dann aber gegen 0?
Naja, die Argumentation in der Musterlösung ist die Folgende, wenn die Reihe konvergent ist, dann ist [mm] $\frac{1}{r}=\lim_{n\to \infty}\frac{c_{k+1}}{c_k}=c<1$. [/mm] Je nachdem wie man die [mm] $c_k$ [/mm] wählt ist der Grenzwert $c$ beliebig dicht an $1$ oder $0$, da man zB mit [mm] $c_k=q^k,\qquad [/mm] 0<q<1$ sicherstellen kann, dass [mm] $\lim_{n \to \infty}\frac{c_{k+1}}{c_k}=\frac{q^{k+1}}{q^k}=q=c$ [/mm] ist. Betrachtet man was passiert, wenn [mm] $c\to [/mm] 1$ sieht man das trotzdem für [mm] $-\pi-1
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Grundsätzliche Frage:
<< Je nachdem wie man die $ [mm] c_k [/mm] $ wählt ist der Grenzwert $ c $ beliebig dicht an $ 1 $ oder $ 0 $
Muss ich nicht davon ausgehen, dass wenn die Reihe absolut konvergent (also stets monoton steigend) ist, dass sie von [mm] c_{k} [/mm] zu [mm] c_{k+1} [/mm] nur sehr geringfügig steigt? ODer fällt sie da, wie es in der Lösung angenommen wird. Schließlich ist sie ja nach oben begrenzt, was bedeutet, dass sie ab einem gewissen Zeitpunkt fast nicht mehr wächst.
Der Bruch [mm] \bruch{c_{k+1}}{c_{k}} [/mm] müsste dann doch immer gegen 1 gehen, wenn [mm] c_{k+1} [/mm] nur geringfügig größer ist oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Maiko,
> Muss ich nicht davon ausgehen, dass wenn die Reihe absolut
> konvergent (also stets monoton steigend) ist, dass sie von
> [mm]c_{k}[/mm] zu [mm]c_{k+1}[/mm] nur sehr geringfügig steigt?
Aus der Absolutenkonvergenz der Reihe kannst du darauf schließen, dass [mm] $c_k \cdot (x+\pi)^{3k-17}$ [/mm] eine Nullfolge ist, damit ist aber nicht schnell etwas über [mm] $c_k$ [/mm] alleine gesagt.
> ODer fällt
> sie da, wie es in der Lösung angenommen wird. Schließlich
> ist sie ja nach oben begrenzt, was bedeutet, dass sie ab
> einem gewissen Zeitpunkt fast nicht mehr wächst.
Die Lösung untersucht halt einfach jede Möglichkeit, bei der das Quotientenkriterium noch Konvergenz ergeben würde. Was tatsächlich passiert hängt dann von [mm] $c_k$ [/mm] ab.
> Der Bruch [mm]\bruch{c_{k+1}}{c_{k}}[/mm] müsste dann doch immer
> gegen 1 gehen, wenn [mm]c_{k+1}[/mm] nur geringfügig größer ist
> oder?
Ich sehe das gerade andersherum, wenn die [mm] $c_k$ [/mm] eine steigende Folge bilden, d.h. [mm] $c_{k+1}>c_k$ [/mm] ist doch [mm] $\frac{c_{k+1}}{c_k}>1$, [/mm] oder? Damit wäre für deinen Fall von steigendem [mm] $c_k$ [/mm] gar nicht Konvergenz gegeben.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Maiko |
< Naja, die Argumentation in der Musterlösung ist die Folgende, wenn die
< Reihe konvergent ist, dann ist $ [mm] \frac{1}{r}=\lim_{n\to
< \infty}\frac{c_{k+1}}{c_k}=c<1 [/mm] $.
....
<Ich sehe das gerade andersherum, wenn die $ [mm] c_k [/mm] $ eine steigende Folge
< bilden, d.h. $ [mm] c_{k+1}>c_k [/mm] $ ist doch $ [mm] \frac{c_{k+1}}{c_k}>1 [/mm] $, oder?
So sehe ich das auch.
Das ist doch dann aber ein Widerspruch zur Musterlösung, schließlich steht dort:
QK: 1/r = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{c_{k+1}}{c_{k}} [/mm] = c < 1
Das dürfte ja aber nicht der Fall sein, wenn die Folge monoton steigend ist.
Übrigens verstehe ich auch nicht, dass die Folge eine Nullfolge sein soll.
Schließlich ist sie absolut konvergent, was lt. (meiner) Definition eine monotone Steigung der Partialsummen voraussetzt. Damit ist die Folge sicherlich gegen einen von 0 verschiedenen Wert konvergent, oder was denkst du?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Maiko,
so wie ich das verstehe meinst du, dass die Folge [mm] $s_n=\sum_{k=0}^n c_k(x+\pi)^{3k-17}$ [/mm] monoton steigend ist. Das ist auch richtig, falls [mm] $c_k>0$. [/mm] Woher weißt du eigentlich, dass die Reihe absolut konvergent ist, steht das irgendwo?
Für den Konvergenzradius geht es ja auch nur um den Grenzwert von [mm] $\frac{c_{k+1}}{c_k}$ [/mm] und nicht um den der Reihe. Und der kann für eine Nullfolge [mm] $c_k$ [/mm] auch unendlichgroß sein.
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Hey Max.
Es tut mir sehr leid. Große Dummheit von mir. Ich dachte, dass stand mit auf dem Bild, was ich hier eingefügt hatte. Die Reihe [mm] c_{k} [/mm] ist absolut konvergent. Das steht mit in der Aufgabenstellung.
Das habe ich unter absoluter Konvergenz gefunden:
[mm] \summe_{n}^{n+\phi} [/mm] | [mm] a_{k} [/mm] |
Die Partialsummen sind monoton steigend. Die Folge der Partialsummen sind aber nach oben hin beschränkt.
Das würde also bedeuten, dass die [mm] c_{k+x}, [/mm] die auf [mm] c_{k} [/mm] folgen, größer als ihr Vorgänger sind, dies aber nur unwesentlich, womit ich wieder bei meiner Frage wäre:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{c_{k+1}}{c_{k}} [/mm] = c < 1 ???
Muss das nicht andersrum sein, also > 1 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Maiko,
die Partialsummen sind nicht das [mm] $c_k$ [/mm] selbst sondern [mm] $s_n=\sum_{k=0}^n c_k=c_0+c_1+c_2+\cdots c_n$. [/mm] Diese sind dann monton wachsend. Das [mm] $\sum c_k$ [/mm] absolut konvergent ist heißt nur, dass die $C-k$ eine Nullfolge bilden müssen.
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Eine Nullfolge ist doch dadurch definiert, dass die Folge gegen 0 konvergiert. Wie kann das möglich sein, wenn die c-ks monoton steigend sind?
Kann ich davon ausgehen, dass [mm] c_{k+1} [/mm] > [mm] c_{k} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Mo 16.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast nicht genau die Antwort von Max gelesen!!!
[mm] \summe_{i=1}^{n}|ai| [/mm] steigt d.h. [mm] \summe_{i=1}^{k} [/mm] |ai|< [mm] \summe_{i=1}^{k+1}
[/mm]
diese SUMMEN wachsen monoton! nicht die ai!! wenn die ai wachsen würden, dann wäre die Summe nicht beschränkt: so wie du schreibst [mm] c_{k}
NOTWENDIG für die absolute Konvergenz ist, dass die [mm] c_{k} [/mm] eine Nullfolge bilden!
Bitte lies genau, zitier die Antworten und bezieh dich genau darauf. Das zwingt dich genauer über die Antwort nachzudenken!
> Eine Nullfolge ist doch dadurch definiert, dass die Folge
> gegen 0 konvergiert. Wie kann das möglich sein, wenn die
> c-ks monoton steigend sind?
>
> Kann ich davon ausgehen, dass [mm]c_{k+1}[/mm] > [mm]c_{k}[/mm] ?
NEIN! NEIN! NEIN!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Hey Leduart.
Ich versuche jetzt, das ganze so zu machen, wie du es vorgeschlagen hast, schließlich möchte ich es ja verstehen.
< $ [mm] \summe_{i=1}^{n}|ai| [/mm] $ steigt d.h. $ [mm] \summe_{i=1}^{k} [/mm] $ |ai|< $
< [mm] \summe_{i=1}^{k+1} [/mm] $
< diese SUMMEN wachsen monoton! nicht die ai!!
Wenn ich aber z.B. eine Reihe habe wie
[mm] c_{k} [/mm] = [mm] \bruch{2^{k}}{k-2}
[/mm]
kann ich dann nicht sagen, dass diese Reihe mit steigenden k größer wird?
Letztenendes wird ja dann auch die gesamte Summe größer.
< NOTWENDIG für die absolute Konvergenz ist, dass die $ [mm] c_{k} [/mm] $ eine
< Nullfolge bilden!
Ok, das habe ich verstanden. Es müsste also
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} c_{k} [/mm] = 0
sein?!
Weitere Fragen:
Ich stelle mir gerade vor, dass [mm] c_{k} [/mm] also eine Nullfolge ist, d.h., dass die folgenden [mm] c_{k-s} [/mm] (mit steigenden k) näher an der x-Achse liegen?! Ist das krorekt so?
Wie kann ich mir erklären, dass
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{c_{k+1}}{c_{k}} [/mm] = c < 1 ist?
Könnte ich mir das so vorstellen, dass der Funktionswert von [mm] c_{k+1} [/mm] kleiner als der von [mm] c_{k} [/mm] ist und deshalb eine Zahl kleiner 1 rauskommen muss?
Ich weiß, dass ich diese Frage schon zig mal gestellt habe, aber ich werde in Zukunft direkt (mit Zitaten) auf eure Antworten reagieren, damit wir uns besser verstehen. Ich hoffe, dass vielleicht nochmal jmd. antwortet...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Di 17.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Maiko!
> Wenn ich aber z.B. eine Reihe habe wie
>
> [mm]c_{k}[/mm] = [mm]\bruch{2^{k}}{k-2}[/mm]
>
> kann ich dann nicht sagen, dass diese Reihe mit steigenden
> k größer wird?
> Letztenendes wird ja dann auch die gesamte Summe größer.
Ja, in diesem Fall wäre das so. Das ist aber zuviel des Guten. Es reicht schon, wenn [mm] $(c_k)_{k \in \IN_0}$ [/mm] keine Nullfolge ist.
> < NOTWENDIG für die absolute Konvergenz ist, dass die [mm]c_{k}[/mm]
> eine
> < Nullfolge bilden!
> Ok, das habe ich verstanden. Es müsste also
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} c_{k}[/mm] = 0
> sein?!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Weitere Fragen:
> Ich stelle mir gerade vor, dass [mm]c_{k}[/mm] also eine Nullfolge
> ist, d.h., dass die folgenden [mm]c_{k-s}[/mm] (mit steigenden k)
> näher an der x-Achse liegen?! Ist das krorekt so?
Du meinst: [mm] $c_{k+s}$. [/mm] Ja, das kann man so sagen... etwas unmathematisch... 
> Wie kann ich mir erklären, dass
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{c_{k+1}}{c_{k}}[/mm] = c < 1
> ist?
>
> Könnte ich mir das so vorstellen, dass der Funktionswert
> von [mm]c_{k+1}[/mm] kleiner als der von [mm]c_{k}[/mm] ist und deshalb eine
> Zahl kleiner 1 rauskommen muss?
Ja, aber das reicht nicht. Schau dir mal die harmonische Reihe an. Da ist auch [mm] $c_{k+1}
[mm] $\limsup\limits_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \le [/mm] c < 1$.
Das ist eine schärfere Bedingung als [mm] $c_{k+1}
Viele Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maik!
> Eine Nullfolge ist doch dadurch definiert, dass die Folge
> gegen 0 konvergiert.
> Wie kann das möglich sein, wenn die [mm] c_k [/mm] 's monoton steigend sind?
Diese Aussage ist aber kein Widerspruch. Auch eine (streng) monoton steigende Folge kann eine Nullfolge sein.
Beispiel : [mm] $a_n [/mm] \ := \ - [mm] \bruch{1}{n}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Maiko |
< Diese Aussage ist aber kein Widerspruch. Auch eine (streng) monoton
< steigende Folge kann eine Nullfolge sein.
< Beispiel : $ [mm] a_n [/mm] \ := \ - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] $
Danke für das einleuchtende Beispiel Loddar 
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