Konvergenz von Lsg einer DG < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich benötige glaube ich nochmal eure Hilfe. Und zwar geht es um eine Aufgabe zum Thema Gewöhnliche Differentialgleichungen.
Gegeben habe ich:
[mm] a,b:[0,\infty) \to [0,\infty) [/mm] stetig
A(t) = [mm] \pmat{ -a(t) & b(t) \\ a(t) & -b(t) }
[/mm]
x'=A(t)x, [mm] x(0)=\vektor{z_1 \\ z_2}; z_1 [/mm] + [mm] z_2 [/mm] = 0 und [mm] z_1 \not= z_2
[/mm]
Ich soll nun zeigen, dass x genau dann für t [mm] \to \infty [/mm] gegen 0 konvergiert, wenn [mm] F:[0,\infty) \to \IR, [/mm] t [mm] \mapsto \integral_{0}^{t}{a(s) + b(s) ds} [/mm] unbeschränkt ist.
Dazu nun meine Überlegungen:
Im Grunde muss ich ja die Äquivalenz
x konvergiert für t [mm] \to \infty [/mm] gegen 0 [mm] \gdw F:[0,\infty) \to \IR, [/mm] t [mm] \mapsto \integral_{0}^{t}{a(s) + b(s) ds} [/mm] ist unbeschränkt
zeigen.
Zum einen also, dass aus der Konvergenz der Lösung der DGL für t [mm] \to \infty [/mm] gegen Null folgt, dass [mm] F:[0,\infty) \to \IR, [/mm] t [mm] \mapsto \integral_{0}^{t}{a(s) + b(s) ds} [/mm] unbeschränkt ist. (ich nenn das nachher einfach mal (1) )
Zum anderen, dass aus der Unbeschränktheit von [mm] F:[0,\infty) \to \IR, [/mm] t [mm] \mapsto \integral_{0}^{t}{a(s) + b(s) ds} [/mm] folgt, dass die Lösung der DGL für t [mm] \to \infty [/mm] gegen Null konvergiert. (das hier nenn ich im Folgenden (2) )
Soweit so gut. Das ganze nun allerdings auszuführen bereitet mir noch Probleme.
Zu (1) muss ich ja zunächst einmal eine Lösung x der DGL x'=A(t)x. finden. Bereits hiermit habe ich Probleme...
Im Prinzip könnte ich doch zunächst eine Lösuingsbasis bestimmen.Dazu würde ich zunächst das charakteristische Polynom bestimmen. Wenn ich mich nicht vertan habe, wäre dies [mm] \lambda^2+\lambda [/mm] b(t) + [mm] \lambda [/mm] a(t).
Als Eigenwerte ergeben sich somit
[mm] \lambda_1=0 [/mm] und [mm] \lambda_2=-b(t)-a(t)
[/mm]
und entsprechende Eigenvektoren [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{b(t)}{a(t)} \\ 1}
[/mm]
und [mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
Damit hätte ich eine allgemeine Lösung
[mm] \phi [/mm] (x)= [mm] \gamma_1*e^0*\vektor{\bruch{b(t)}{a(t)} \\ 1} [/mm] + [mm] \gamma_2*e^{-b(t)-a(t)}*\vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
Ist das bis dahin korrekt? Irgendwie kommt mir das komisch vor...
Vielen Dank schonmal im Voraus!
LG Pia
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Mi 22.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
>
> ich benötige glaube ich nochmal eure Hilfe. Und zwar geht
> es um eine Aufgabe zum Thema Gewöhnliche
> Differentialgleichungen.
>
> Gegeben habe ich:
> [mm]a,b:[0,\infty) \to [0,\infty)[/mm] stetig
> A(t) = [mm]\pmat{ -a(t) & b(t) \\ a(t) & -b(t) }[/mm]
> x'=A(t)x,
> [mm]x(0)=\vektor{z_1 \\ z_2}; z_1[/mm] + [mm]z_2[/mm] = 0 und [mm]z_1 \not= z_2[/mm]
>
> Ich soll nun zeigen, dass x genau dann für t [mm]\to \infty[/mm]
> gegen 0 konvergiert, wenn [mm]F:[0,\infty) \to \IR,[/mm] t [mm]\mapsto \integral_{0}^{t}{a(s) + b(s) ds}[/mm]
> unbeschränkt ist.
>
> Dazu nun meine Überlegungen:
> Im Grunde muss ich ja die Äquivalenz
> x konvergiert für t [mm]\to \infty[/mm] gegen 0 [mm]\gdw F:[0,\infty) \to \IR,[/mm]
> t [mm]\mapsto \integral_{0}^{t}{a(s) + b(s) ds}[/mm] ist
> unbeschränkt
> zeigen.
>
> Zum einen also, dass aus der Konvergenz der Lösung der DGL
> für t [mm]\to \infty[/mm] gegen Null folgt, dass [mm]F:[0,\infty) \to \IR,[/mm]
> t [mm]\mapsto \integral_{0}^{t}{a(s) + b(s) ds}[/mm] unbeschränkt
> ist. (ich nenn das nachher einfach mal (1) )
> Zum anderen, dass aus der Unbeschränktheit von
> [mm]F:[0,\infty) \to \IR,[/mm] t [mm]\mapsto \integral_{0}^{t}{a(s) + b(s) ds}[/mm]
> folgt, dass die Lösung der DGL für t [mm]\to \infty[/mm] gegen
> Null konvergiert. (das hier nenn ich im Folgenden (2) )
>
> Soweit so gut. Das ganze nun allerdings auszuführen
> bereitet mir noch Probleme.
> Zu (1) muss ich ja zunächst einmal eine Lösung x der
> DGL x'=A(t)x. finden. Bereits hiermit habe ich Probleme...
> Im Prinzip könnte ich doch zunächst eine Lösuingsbasis
> bestimmen.Dazu würde ich zunächst das charakteristische
> Polynom bestimmen. Wenn ich mich nicht vertan habe, wäre
> dies [mm]\lambda^2+\lambda[/mm] b(t) + [mm]\lambda[/mm] a(t).
> Als Eigenwerte ergeben sich somit
> [mm]\lambda_1=0[/mm] und [mm]\lambda_2=-b(t)-a(t)[/mm]
> und entsprechende Eigenvektoren [mm]v_1[/mm] =
> [mm]\vektor{\bruch{b(t)}{a(t)} \\ 1}[/mm]
> und [mm]v_2[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
>
> Damit hätte ich eine allgemeine Lösung
> [mm]\phi[/mm] (x)= [mm]\gamma_1*e^0*\vektor{\bruch{b(t)}{a(t)} \\ 1}[/mm] +
> [mm]\gamma_2*e^{-b(t)-a(t)}*\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
>
> Ist das bis dahin korrekt?
Nein, denn die ganze Geschichte mit Eigenwerten , Eigenvektoren, ..... funktioniert nur bei Sytemen mit konstanten Koeefizienten !
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?t=967997
FRED
> Irgendwie kommt mir das komisch
> vor...
>
> Vielen Dank schonmal im Voraus!
>
> LG Pia
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:46 Do 23.05.2013 | | Autor: | Pia90 |
> > Hallo zusammen,
> >
> > ich benötige glaube ich nochmal eure Hilfe. Und zwar geht
> > es um eine Aufgabe zum Thema Gewöhnliche
> > Differentialgleichungen.
> >
> > Gegeben habe ich:
> > [mm]a,b:[0,\infty) \to [0,\infty)[/mm] stetig
> > A(t) = [mm]\pmat{ -a(t) & b(t) \\ a(t) & -b(t) }[/mm]
> >
> x'=A(t)x,
> > [mm]x(0)=\vektor{z_1 \\ z_2}; z_1[/mm] + [mm]z_2[/mm] = 0 und [mm]z_1 \not= z_2[/mm]
>
> >
> > Ich soll nun zeigen, dass x genau dann für t [mm]\to \infty[/mm]
> > gegen 0 konvergiert, wenn [mm]F:[0,\infty) \to \IR,[/mm] t [mm]\mapsto \integral_{0}^{t}{a(s) + b(s) ds}[/mm]
> > unbeschränkt ist.
> >
> > Dazu nun meine Überlegungen:
> > Im Grunde muss ich ja die Äquivalenz
> > x konvergiert für t [mm]\to \infty[/mm] gegen 0 [mm]\gdw F:[0,\infty) \to \IR,[/mm]
> > t [mm]\mapsto \integral_{0}^{t}{a(s) + b(s) ds}[/mm] ist
> > unbeschränkt
> > zeigen.
> >
> > Zum einen also, dass aus der Konvergenz der Lösung der DGL
> > für t [mm]\to \infty[/mm] gegen Null folgt, dass [mm]F:[0,\infty) \to \IR,[/mm]
> > t [mm]\mapsto \integral_{0}^{t}{a(s) + b(s) ds}[/mm] unbeschränkt
> > ist. (ich nenn das nachher einfach mal (1) )
> > Zum anderen, dass aus der Unbeschränktheit von
> > [mm]F:[0,\infty) \to \IR,[/mm] t [mm]\mapsto \integral_{0}^{t}{a(s) + b(s) ds}[/mm]
> > folgt, dass die Lösung der DGL für t [mm]\to \infty[/mm] gegen
> > Null konvergiert. (das hier nenn ich im Folgenden (2) )
> >
> > Soweit so gut. Das ganze nun allerdings auszuführen
> > bereitet mir noch Probleme.
> > Zu (1) muss ich ja zunächst einmal eine Lösung x der
> > DGL x'=A(t)x. finden. Bereits hiermit habe ich Probleme...
> > Im Prinzip könnte ich doch zunächst eine
> Lösuingsbasis
> > bestimmen.Dazu würde ich zunächst das charakteristische
> > Polynom bestimmen. Wenn ich mich nicht vertan habe, wäre
> > dies [mm]\lambda^2+\lambda[/mm] b(t) + [mm]\lambda[/mm] a(t).
> > Als Eigenwerte ergeben sich somit
> > [mm]\lambda_1=0[/mm] und [mm]\lambda_2=-b(t)-a(t)[/mm]
> > und entsprechende Eigenvektoren [mm]v_1[/mm] =
> > [mm]\vektor{\bruch{b(t)}{a(t)} \\ 1}[/mm]
> > und [mm]v_2[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
>
> >
> > Damit hätte ich eine allgemeine Lösung
> > [mm]\phi[/mm] (x)= [mm]\gamma_1*e^0*\vektor{\bruch{b(t)}{a(t)} \\ 1}[/mm]
> +
> > [mm]\gamma_2*e^{-b(t)-a(t)}*\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
> >
> > Ist das bis dahin korrekt?
>
>
> Nein, denn die ganze Geschichte mit Eigenwerten ,
> Eigenvektoren, ..... funktioniert nur bei Sytemen mit
> konstanten Koeefizienten !
Oh, das stimmt. Ich sollte auch das "Kleingedruckte" lesen... Meine Matrix ist schließlich nicht konstant und ich kann den Satz gar nicht verwenden!
>
> Schau mal hier:
>
> https://matheraum.de/read?t=967997
Danke, das hab ich vorher gar nicht gesehen! Dann werde ich mich natürlich dort beteiligen!
>
> FRED
>
> > Irgendwie kommt mir das komisch
> > vor...
> >
> > Vielen Dank schonmal im Voraus!
> >
> > LG Pia
>
|
|
|
|
