Konvergenz von Integral im R^n < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 So 25.06.2006 | | Autor: | MarkusB |
| Aufgabe | Untersuchen Sie
[mm] \integral{ \integral{1/(1 + x^{2} +y^{2})} d(x,y) } [/mm] über den gesamten [mm] \IR^{2}
[/mm]
auf konvergenz. |
Ich habe versucht die Aufgabe über eine Abschätzung von 1/(1 + [mm] x^{2} +y^{2}) [/mm] zu lösen.
Zuerst habe ich substituiert (Polarkoordinaten): x = r cos(phi) ; y = r sin(phi)
dadurch ergab sich [mm] r/(1+r^{2}) [/mm] als Integrand.
Und jetzt hab' ich mit [mm] 1/r^{2} [/mm] auf Divergenz abgeschätzt (da gibt's einen Satz den man dazu anwenden kann...).
Meine Frage: Divergiert das gegebene Integral? Divergiert der Integrand [mm] 1/r^{2} [/mm] auf [mm] \IR^{2}? [/mm] Stimmt mein Lösungsweg?
Ich bin bei Integralen im [mm] \IR^{n} [/mm] noch sehr unsicher...
Danke
Markus
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Hallo Markus,
> Untersuchen Sie
> [mm]\integral{ \integral{1/(1 + x^{2} +y^{2})} d(x,y) }[/mm] über
> den gesamten [mm]\IR^{2}[/mm]
> auf konvergenz.
> Ich habe versucht die Aufgabe über eine Abschätzung von
> 1/(1 + [mm]x^{2} +y^{2})[/mm] zu lösen.
> Zuerst habe ich substituiert (Polarkoordinaten): x = r
> cos(phi) ; y = r sin(phi)
> dadurch ergab sich [mm]r/(1+r^{2})[/mm] als Integrand.
das stimmt soweit. du erhältst dann ein eindimensionales integral (über r), da [mm] \phi [/mm] ja nicht in der funktion auftaucht, kannst du das [mm] \phi-integral [/mm] als konstante herausziehen.
> Und jetzt hab' ich mit [mm]1/r^{2}[/mm] auf Divergenz abgeschätzt
> (da gibt's einen Satz den man dazu anwenden kann...).
wie wärs denn damit, das integral einfach durch bildung einer stammfunktion zu berechnen? das ist in diesem fall ja nicht so schwer...
Gruß
Matthias
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