Konvergenz von Funktionenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Prüfe punktweise und gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolgen.
1) [mm] (1+x^{2})^{-n} [/mm] auf IR
2) [mm] x^{n}*(1+x^{2})^{-n} [/mm] auf IR
3) [mm] n*x*(1-x)^n [/mm] auf [0,1]
4) [mm] f_{n}(x)=\begin{cases} 1, & 0 |
Guten Tag!
Ich habe mich ein wenig mit den obigen Funktionenfolgen beschäftigt und bin zu dem Schluss gekommen, dass alle vier Funktionenfolgen punktweise konvergieren. Ist das korrekt? Wenn dem so ist: Wie weise ich das nach? Reicht es aus, wenn ich die Funktionenfolge als Folge betrachte (da x festgehalten wird) und anschließend zeige, dass die so entstehende Folge für beliebiges x aus IR konvergiert?
Außerdem habe ich ein Problem mit der gleichmäßigen Konvergenz - ist es möglich, mir dies an einem Beispiel zu erläutern?
Besten Dank bereits im Voraus!
mathe_thommy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Mo 11.01.2016 | | Autor: | hippias |
> Prüfe punktweise und gleichmäßige Konvergenz der
> Funktionenfolgen.
> 1) [mm](1+x^{2})^{-n}[/mm] auf IR
> 2) [mm]x^{n}*(1+x^{2})^{-n}[/mm] auf IR
> 3) [mm]n*x*(1-x)^n[/mm] auf [0,1]
> 4) [mm]f_{n}(x)=\begin{cases} 1, & 0
> auf IR
> Guten Tag!
>
> Ich habe mich ein wenig mit den obigen Funktionenfolgen
> beschäftigt und bin zu dem Schluss gekommen, dass alle
> vier Funktionenfolgen punktweise konvergieren. Ist das
> korrekt? Wenn dem so ist: Wie weise ich das nach? Reicht es
> aus, wenn ich die Funktionenfolge als Folge betrachte (da x
> festgehalten wird) und anschließend zeige, dass die so
> entstehende Folge für beliebiges x aus IR konvergiert?
Ja, genauso kannst Du es machen.
> Außerdem habe ich ein Problem mit der gleichmäßigen
> Konvergenz - ist es möglich, mir dies an einem Beispiel zu
> erläutern?
Ja. Beweise z.B., dass die erste Funktionenfolge punktweise konvergent ist. Dann gucken wir uns an, ob sie auch gleichmässig konvergiert.
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> Besten Dank bereits im Voraus!
> mathe_thommy
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Guten Abend hippias!
Besten Dank für Deine Unterstützung. Ich habe die punktweise Konvergenz bei (1) wie folgt nachgewiesen:
Zur Bestimmung der Konvergenz wähle ich folgende Definition: [mm] |a-a_n| \le \varepsilon
[/mm]
[mm] |0-(1+x^{2})^{-n}| \le \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{(1+x^{2})^{n}} \le \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 [mm] \le \varepsilon [/mm] * [mm] (1+x^{2})^{n}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le ln(\varepsilon)+n*ln(1+x^{2})
[/mm]
[mm] \gdw -(\bruch{ln(\varepsilon)}{ln(1+x^{2})}) \le [/mm] n
Ist solch eine Rechnung korrekt?
Beste Grüße
mathe_thommy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Mo 11.01.2016 | | Autor: | hippias |
> Guten Abend hippias!
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> Besten Dank für Deine Unterstützung. Ich habe die
> punktweise Konvergenz bei (1) wie folgt nachgewiesen:
>
> Zur Bestimmung der Konvergenz wähle ich folgende
> Definition: [mm]|a-a_n| \le \varepsilon[/mm]
>
> [mm]|0-(1+x^{2})^{-n}| \le \varepsilon[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{1}{(1+x^{2})^{n}} \le \varepsilon[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] 1 [mm]\le \varepsilon[/mm] * [mm](1+x^{2})^{n}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 0 [mm]\le ln(\varepsilon)+n*ln(1+x^{2})[/mm]
> [mm]\gdw -(\bruch{ln(\varepsilon)}{ln(1+x^{2})}) \le[/mm]
> n
>
> Ist solch eine Rechnung korrekt?
Das Problem ist, dass Du offenbar nachweisen möchtest, dass die Folge punktweise für alle $x$ gegen $0$ konvergiert: das ist aber für $x=0$ nicht der Fall. Erkennst an welcher Stelle der Wert $x=0$ Deine Umformung falsch macht?
Davon abgesehen ist es nicht falsch diesen Ansatz zu machen, um ihn dann nach $n$ umzustellen. Jedoch wird dies nur in Ausnahmefällen durchführbar sein. Versuche dies für die andern Funktionen und Du wirst gehörige Probleme bekommen.
Üblicher dürfte die folgende Argumentation sein. Für alle $n$ ist [mm] $f_{n}(0)=1$. [/mm] Für [mm] $x\neq [/mm] 0$ ist [mm] $\frac{1}{1+x^{2}}<1$, [/mm] sodass [mm] $f_{n}(x)$ [/mm] eine Nullfolge ist (das kann man natürlich noch weiter erläutern). Damit gilt [mm] $\lim_{n\to\infty} f_{n}(x)= \begin{cases} 1 & x=0\\ 0 & x\neq 0\end{cases}$. [/mm] Ich nenne die Grenzfunktion $f$; also $f(x)= [mm] \begin{cases} 1 & x=0\\ 0 & x\neq 0\end{cases}$.
[/mm]
Ich weiss ja nicht, was Du bereits über gleichmässig konvergente Folgen gelernt hast, aber die Unstetigkeit der Grenzfunktion zeigt bereits, dass die Konvergenz nicht gleichmässig ist. Trotzdem weise ich es nocheinmal nach.
Gleichmässige Konvergenz liegt vor, wenn man zu [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_{0}\in \IN$ [/mm] angeben kann, sodass die Abweichung von [mm] $f_{n}(x)$ [/mm] vom Grenzwert geringer als [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist, und zwar für alle $x$.
Anschaulich ist die Annäherung an die $0$ um so schneller, je weiter $x$ von $0$ entfernt ist. Wenn die gleichmässige Konvergenz scheitert, dann liegt es an der Stelle $x=0$.
Ich möchte nachweisen, dass es zu noch so grossem $n$ ein $x$ gibt, sodass [mm] "$f_{n}(x)$ [/mm] noch ziemlich weit vom Grenzwert entfernt ist".
Nun ist [mm] $\frac{1}{1+x^{2}}= 1-\frac{x^{2}}{1+x^{2}}$. [/mm] Mit Hilfe der Bernoulliungleichung erkennt man, dass [mm] $f_{n}(x)\geq 1-n\frac{x^{2}}{1+x^{2}}$ [/mm] ist. Der Term ist mir noch zu kompliziert, obwohl ich ihn nach Deiner Methode nach $x$ umstellen könnte. Ich schätze lieber weiter ab: wenn $|x|<1$ gilt, dann ist [mm] $f_{n}(x)\geq 1-n\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\geq 1-n\frac{x^{2}}{2}$.
[/mm]
Achtung: Ich habe einen Fehler bei der Abschätzung gemacht. Die Korrektur habe unten angefügt!
Nun fällt es mir leichter zu sagen: Wenn z.B. $x= [mm] \frac{1}{\sqrt{n}}$ [/mm] ist, dann ist [mm] $f_{n}(x)\geq \frac{1}{2}$.
[/mm]
Fazit: es gibt ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] (nämlich z.B. [mm] $\frac{1}{2}), [/mm] sodass es zu jedem [mm] $n_{0}\in \IN$ [/mm] ein [mm] $n\in \IN$ [/mm] und ein [mm] $x\in \IR$ [/mm] gibt, sodass [mm] $n>n_{0}$ [/mm] und [mm] $|f_{n}(x)-f(x)|\geq \varepsilon$ [/mm] ist.
Damit gilt die Verneinung der Bedingung der gleichmässigen Konvergenz.
Korrektur:
Der Term ist mir noch zu kompliziert, obwohl ich ihn nach Deiner Methode nach $x$ umstellen könnte. Ich schätze lieber weiter ab: es ist [mm] $f_{n}(x)\geq 1-n\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\geq 1-nx^{2}$ [/mm] wegen [mm] $1+x^{2}\geq [/mm] 1$.
Nun fällt es mir leichter zu sagen: Wenn z.B. $x= [mm] \frac{1}{\sqrt{2n}}$ [/mm] ist, dann ist [mm] $f_{n}(x)\geq \frac{1}{2}$.
[/mm]
Das Fazit bleibt natürlich das selbe.
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> Beste Grüße
> mathe_thommy
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