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Konvergenz von Funktionen: \varepsilon wählen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:18 Sa 22.10.2005
Autor: Chrsitine

Hallo zusammen, besuche zurzeit Analysis  im Grundstudium fürs Lehramt.
Haben gerade das Thema punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionen. Die Definitionen verstehe ich auch. Nur ist mir ein Rätsel, wie ich die Konvergenz beweisen kann, weil ich nicht vertehe wie ich das   [mm] \varepsilon [/mm] wählen muss, damit der Beweis aufgeht. Unser Prof meinte, das sieht man wenn man ein bißchen "rumprobiert". Hat einer von Euch vielleicht eine bessere Erklärung? Oder einen guten Literaturtipp?

Vielen Dank im vorraus, Christine

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenz von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:24 Sa 22.10.2005
Autor: Stefan

Hallo Christine!

Ich fürchte du hast da etwas falsch verstanden. ;-) Nicht das [mm] $\varepsilon$ [/mm] musst du wählen (das ist beliebig, aber fest vorgegeben), sondern das [mm] $n_0$. [/mm] Du musst ein [mm] $n_0$ [/mm] finden, so dass

[mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon$ [/mm]

gilt für alle $n [mm] \ge n_0$. [/mm] Im Falle der punktweisen Konvergenz darf das [mm] $n_0$ [/mm] von $x$ abhängen, im Falle der gleichmäßigen Konvergenz nicht.

Du setzt also so an:

[mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)| [mm] \le \ldots$ [/mm]

und schätzt ab. Dann kommst du irgendwann zu einem Punkt, wo du dir Gedanken über das $n$ machen musst, so dass der entstehende Ausdruck kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist.

Dafür gibt es wirklich keine Patentrezepte, das musst du selber ein paar Mal machen und dann bekommst du Routine... :-)

Liebe Grüße
Stefan

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