Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:39 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Klemme |
| Aufgabe | Prüfen Sie die Konvergenz der Zahlenfolgen
(a) [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n + n^4}{(n^2 + 1)^2}$
[/mm]
(b) [mm] $(b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $b_n [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n (n^3 + n - 1)}{n(4 + 2n)^2}$ [/mm] |
Hallo liebe Forenmitglieder,
ich weiß nicht genau, wie ich mit [mm] $(-1)^n$ [/mm] umgenhen soll. Das bedeutet doch, dass diese Folgen alternieren?
zu a) [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n + n^4}{(n^2 + 1)^2} [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{n^4}{(n^2 + 1)2} [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{n^4}{n^4 +2n^2 +1} [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{1}{2n^2 + 1}$
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2n^2 + 1} [/mm] = 1$
Die Folge geht also gegen 1 und -1. Ist sie damit konvergent, weil der Grenzwert exitiert?
zu b) Hier habe ich das gleiche Problem. Der Grenzwert geht hier gegen [mm] $-\bruch{1}{4}$ [/mm] und [mm] $\bruch{1}{4}$
[/mm]
Wäre das dann schon die Lösung oder muss ich an diese Aufgabe anders herangehen?
lg
Klemme
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Hallo Klemme,
du solltest nochmal einiges zum Grenzwertbegriff recherchieren:
> zu b) Hier habe ich das gleiche Problem. Der Grenzwert geht
> hier gegen [mm]-\bruch{1}{4}[/mm] und [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
das ist auch kein Grenzwert, sondern es sind zwei Häufungspunkte. Die Folge ist somit nicht konvergent.
Zur a). Hier ziehst du die [mm] (-1)^n [/mm] vom Bruchstrich herunter, indem du aus einer Addition eine Multiplikation machst. Das ist natürlich falsch. Habt ihr das sog. Sanddwich-Lemma schon durchgenommen, mit dem könntest du hier ganz gut arbeiten. Sonst klammere aus dem Zähler und dem Nenner jeweils [mm] n^4 [/mm] aus, das funktioniert auch.
Gruß, Diophant
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