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Konvergenz von Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 Di 04.05.2010
Autor: melisa1

Aufgabe
Untersuchen sie, ob die folgenden Folgen in IR konvergieren

(a)  [mm] a_{n}=\bruch{n^2-1}{n+1} [/mm]

(b) [mm] b_{n}=(-1)^n \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm]

Hallo,

ich komme bei der a irgendwie nicht weiter


wenn ich n ausklammere habe ich

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\bruch{1}{n^2}}{\bruch{1}{n} +\bruch{1}{n^2}} [/mm]

alles außer die 1 strebt gegen 0, aber durch 0 kann man ja nicht teilen. Ich dachte außerdem, dass wenn die Potenz im Zähler größer ist, dass die Folge divergent ist. Stimmt das?

An die b) bin ich mit der Definition rangegangen.

Es gibt ein [mm] n_{0} \in [/mm] IN, so dass [mm] n_{0}> \bruch{1}{\wurzel{\varepsilon}}. [/mm] Damit gilt [mm] \bruch{1}{n_{0}}< \varepsilon [/mm] und es ist für alle [mm] n\ge n_{0} [/mm]

[mm] |(-1)^n \bruch{1}{\wurzel{n}}-0|=|\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n}}|=|\bruch{(1)^n}{\wurzel{n}}|=\bruch{(1)}{\wurzel{n}}<\varepsilon [/mm]

stimmt das so?
Ich bedanke mich im voraus

Lg Melisa

        
Bezug
Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 Di 04.05.2010
Autor: fred97


> Untersuchen sie, ob die folgenden Folgen in IR
> konvergieren
>  
> (a)  [mm]a_{n}=\bruch{n^2-1}{n+1}[/mm]
>  
> (b) [mm]b_{n}=(-1)^n \bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich komme bei der a irgendwie nicht weiter
>  
>
> wenn ich n ausklammere habe ich
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\bruch{1}{n^2}}{\bruch{1}{n} +\bruch{1}{n^2}}[/mm]
>  
> alles außer die 1 strebt gegen 0, aber durch 0 kann man ja
> nicht teilen. Ich dachte außerdem, dass wenn die Potenz im
> Zähler größer ist, dass die Folge divergent ist. Stimmt
> das?

Ja. Du weißt sicher: konvergente Folgen sind beschränkt. Die Folge [mm] (a_n) [/mm] ist aber nicht beschränkt. Versuche mal zu zeigen:

                [mm] $a_n \ge [/mm] n/2$  für n [mm] \ge [/mm] 2

>  
> An die b) bin ich mit der Definition rangegangen.
>  
> Es gibt ein [mm]n_{0} \in[/mm] IN, so dass [mm]n_{0}> \bruch{1}{\wurzel{\varepsilon}}.[/mm]
> Damit gilt [mm]\bruch{1}{n_{0}}< \varepsilon[/mm] und es ist für
> alle [mm]n\ge n_{0}[/mm]
>  
> [mm]|(-1)^n \bruch{1}{\wurzel{n}}-0|=|\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n}}|=|\bruch{(1)^n}{\wurzel{n}}|=\bruch{(1)}{\wurzel{n}}<\varepsilon[/mm]
>  
> stimmt das so?

Ja


FRED

> Ich bedanke mich im voraus
>  
> Lg Melisa


Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:19 Di 04.05.2010
Autor: melisa1

Hallo,

>  
> Ja. Du weißt sicher: konvergente Folgen sind beschränkt.
> Die Folge [mm](a_n)[/mm] ist aber nicht beschränkt. Versuche mal zu
> zeigen:
>  
> [mm]a_n \ge n/2[/mm]  für n [mm]\ge[/mm] 2
>  >  

Meinst du das so:

Behauptung: Es ist [mm] a_{n}>\bruch{n}{2} [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 2

und das dann mit Induktion also

IA: n=2  was klar ist

IS: [mm] \bruch{(n+1)^2-1}{(n+2)}>\bruch{(n+1)}{2} [/mm]


Grüße Melisa

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Folgen: warum so umständlich?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:11 Di 04.05.2010
Autor: Loddar

Hallo Melisa!

Warum so kompliziert? Es gilt doch:

[mm] $$a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n^2-1}{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+1)*(n-1)}{n+1} [/mm] \ = \ n-1$$

Und diese Folge ist doch mehr als offensichtlich divergent.


Gruß
Loddar


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