Konvergenz von Folgen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 Mi 01.04.2009 | | Autor: | hilado |
| Aufgabe | Untersuchen Sie auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert der Folgen.
a) [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^2 + 1}{n^3 + 2*n + 1}
[/mm]
b) [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^2 + n + 1}{n + 2}
[/mm]
c) [mm] a_n [/mm] = [mm] exp((-1)^n \bruch{1}{n}). [/mm] |
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = 0 => konvergent
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = n => divergent
(reicht das wenn ich das so hinschreibe oder muss ich noch was dazuschreiben?)
c) Was bedeutet dieses exp? Ich stoße zum ersten mal darauf ...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo hilado,
> Untersuchen Sie auf Konvergenz und bestimmen Sie
> gegebenenfalls den Grenzwert der Folgen.
>
> a) [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{n^2 + 1}{n^3 + 2*n + 1}[/mm]
>
> b) [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{n^2 + n + 1}{n + 2}[/mm]
>
> c) [mm]a_n[/mm] = [mm]exp((-1)^n \bruch{1}{n}).[/mm]
> a)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = 0 => konvergent ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = n => divergent
>
> (reicht das wenn ich das so hinschreibe oder muss ich noch
> was dazuschreiben?)
Das ist nicht gut aufgeschrieben, wenn ihr [mm] $\infty$ [/mm] als (uneigentlichen) Grenzwert zugelassen habt, schreibe besser [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty$, [/mm] also (bestimmte) Divergenz
Falls ihr festgelegt habt, dass [mm] GW=\infty [/mm] bedeutet, dass der GW nicht existiert, schreibe [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ [/mm] existiert nicht
>
> c) Was bedeutet dieses exp? Ich stoße zum ersten mal darauf
Damit ist die Exponentialfunktion gemeint [mm] $\exp(x)=e^x$
[/mm]
Bedenke, dass diese Funktion stetig ist, dass also mit dem Folgenkriterium der Stetigkeit gilt:
[mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\exp(g(x))=\exp\left(\lim\limits_{n\to\infty}g(x)\right)$ [/mm] bzw. in der andern Schreibweise:
[mm] $\lim\limits_{n\to\infty}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{n\to\infty}g(x)}$
[/mm]
Was ergibt sich also als GW bei (c) ?
> ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Do 02.04.2009 | | Autor: | hilado |
in diesem Fall: g(x) = [mm] (-1)^n [/mm] * 1/n
lim g(n) = 0 => tendiert gegen [mm] e^0 [/mm] = 1
sprich diese folge konvergiert gegen 1
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Hallo nochmal,
> in diesem Fall: g(x) = [mm](-1)^n[/mm] * 1/n
>
> lim g(n) = 0 => tendiert gegen [mm]e^0[/mm] = 1
>
> sprich diese folge konvergiert gegen 1 ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
genau!
LG
schachuzipus
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