Konvergenz von Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Matheraum,
leider brachte die Suchmaschine nichts brauchbares, deshalb hoffe ich auf die Beantwortung einer (zugegebenermaßen)wenig tiefsinnigen Frage:
Gibt es eine Art Rezept, wie man vorgeht um die Konvergenz einer Folge zu beweisen? Zu zeigen ist ja, dass ab einem genügend großen n gilt
[mm] \left| a_n - a \right| < \epsilon [/mm] für beliebiges [mm]\epsilon[/mm]>0 ,richtig?
Ich habe mir überlegt, es würde vielleicht Sinn machen die Folge in eine Summe (bzw. ein Produkt) mehrerer Teilfolgen zu zerlegen.
Beispielsweise [mm] \bruch{3n+1}{n}[/mm] in [mm]3+\bruch{1}{n}[/mm]. Vielleicht könnte man die Konvergenz dann leichter beweisen. Dennoch ist mir selbst bei einfachen Folgen nicht klar, wie man letztendlich den Beweis führt und den Grenzwert ausrechnet.
Bin auch für Anregungen und Denkanstöße dankbar, es wäre aber traumhaft wenn jemand den Beweis der Konvergenz dieser Folge aufschreiben könnte:
[mm]a_n=\bruch{2n^2+100n}{(2n+1)^2-n}[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße,
Michel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Nam |
Hallo Michel,
bei solchen (einfachen) Folgen kann man das recht formlos an der Defintion ablesen:
[mm]\frac{2n^2 + 100n}{(2n+1)^2 - n} = \frac{2n^2 + 100n}{4n^2 + 3n + 1} = \frac{2 + \frac{100}{n}}{4 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{2}{4 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}} + \frac{\frac{100}{n}}{4 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}} \to \frac{2}{4} = \frac{1}{2}[/mm]
Diese Folge konvergiert also gegen [mm]\frac{1}{2}[/mm], denn [mm]\frac{\frac{100}{n}}{4 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}} \to 0[/mm] und [mm]\frac{2}{4 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}} \to \frac{1}{2}[/mm].
Mehr würde ich dazu auch nicht schreiben: es kommt halt auf die Aufgabenstellung drauf an, ob wirklich ein "Epsilon-Beweis" gefordert ist.
Es gibt aber auch Folgen, da kommt man damit nicht mehr weiter. Eine mögliche Strategie zum Beweis der Konvergenz einer Folge (reine Existenzaussage) ist:
1) Man zeigt, dass die Folge monoton ist (monoton steigend bzw. wachsend)
2) Man zeigt, dass die Folge beschränkt (nach oben bzw. nach unten) ist.
Dann folgt automatisch, dass die Folge auch konvergiert. Anschliessend kann man dann für den konkreten Grenzwert einen Epsilon Beweis führen.
Bei der Folge [mm]a_n := \wurzel[n]{x}; x \in \IR_{+}[/mm] kommt man z. B. um einen formalen Beweis nicht herum.
Anderes Beispiel ist die Folge, die sich definiert durch:
[mm]a_n := \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n}[/mm]. Da kann man zeigen, dass die Folge konvergiert, indem man zeigt, dass die beschränkt und monoton ist. Die Berechnung des Grenzwertes ist hierbei aber sehr schwer.
Noch eine Möglichkeit wäre, zu zeigen, dass eine gegebene Folge eine Cauchy Folge ist, damit konvergiert sie auch (wenn wir von reellen Folgen sprechen).
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