Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Mi 28.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Aufgabe: Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge reeller Zahlen.
a) Seien [mm] (a_{\phi(k)}) [/mm] und [mm] (a_{\psi(k)}) [/mm] zwei konvergente Teilfolgen mit [mm] \{\phi(k) | k \in \IN\} \cup \{\psi(k) | k \in \IN\}.
[/mm]
Zeigen Sie: haben die beiden Teilfolgen den gleichen Grenzwert a, so konvergiert auch [mm] (a_n) [/mm] gegen a.
b) Es seien [mm] (a_{2n}), (a_{2n+1}) [/mm] und [mm] (a_{3n}) [/mm] konvergent. Konvergiert dann auch [mm] (a_n)? [/mm] (Beweis oder Gegenbeispiel) |
Zur a)
Zu zeigen: [mm] (a_n) [/mm] konvergiert gegen a.
Sei N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \phi(k) \ge [/mm] N und [mm] \psi(k) \ge [/mm] N, so dass gilt:
[mm] |a_{\phi(k)} [/mm] - a| < [mm] \epsilon [/mm] und
[mm] |a_{\psi(k)} [/mm] - a| < [mm] \epsilon.
[/mm]
Da [mm] \{\phi(k) | k \in \IN\} \cup \{\psi(k) | k \in \IN\} [/mm] = [mm] \IN \exists [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] N, so dass auch
[mm] |a_n [/mm] - a| < [mm] \epsilon.
[/mm]
[mm] \Rightarrow (a_n) [/mm] konvergiert gegen a.
Zur b)
Per Voraussetzung sind [mm] (a_{2n}), (a_{2n+1}) [/mm] und [mm] (a_{3n}) [/mm] konvergente Folgen.
Konvergiere nun [mm] (a_{2n}) [/mm] gegen a, [mm] (a_{2n+1}) [/mm] gegen b und [mm] (a_{3n}) [/mm] gegen c.
Da [mm] (a_{2n}) [/mm] gegen a konvergiert, konvergiert auch die Teilfolge [mm] (a_{6n}) [/mm] gegen a.
Da [mm] (a_{6n}) [/mm] aber auch Teilfolge von [mm] (a_{3n}) [/mm] ist, konvergiert sie auch gegen c.
Hieraus folgt wegen der Eindeutigkeit des Limes a = c.
Da [mm] (a_{2n+1}) [/mm] gegen b konvergiert, konvergiert auch die Teilfolge [mm] (a_{3(2n+1)}) [/mm] gegen b.
Diese ist aber auch Teilfolge von [mm] (a_{3n}) [/mm] und konvergiert somit auch gegen c.
Wegen der Eindeutigkeit des Limes ist also auch b = c.
[mm] \Rightarrow [/mm] a = b = c,
alle 3 Folgen konvergieren gegen den gleichen Grenzwert (im Folgenden a)
Wegen {2n | n [mm] \in \IN} \cup [/mm] {2n+1 | n [mm] \in \IN} [/mm] = [mm] \IN [/mm] folgt (da alle Teilfolgen gegen den gleichen Grenzwert konvergieren oder mit Teilaufgabe a): Auch [mm] (a_n) [/mm] konvergiert gegen a.
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Ist dieser Lösungsweg korrekt? Mir kommt vor allem meine Begründung in Teilaufgabe a) sehr mau vor.
Ich wäre hier für Anregungen, wie ich das präzisieren könnte, sehr dankbar. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Mi 28.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Alles ist fast richtig.
Nur kannst du für
$ [mm] |a_{\phi(k)} [/mm] $ - a| < $ [mm] \epsilon [/mm] $ und
$ [mm] |a_{\psi(k)} [/mm] $ - a| < [mm] \epsilon [/mm] $
nicht das gleiche N annehmen, sondern N1 und N2 für [mm] a_n [/mm] dann das max(N1,N2)
im übrigen ist alles sehr gut.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Mi 28.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Na, das freut mich doch. Tausend Dank für die schnelle Rückmeldung :)
Sogar das mit den unterschiedlichen N ist mir diesmal anschaulich klar - so ganz langsam entwickelt sich etwas Verständis für die Thematik. :)
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