Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Mo 23.07.2007 | | Autor: | arena |
Hallo zusammen,
Ich bereite mich gerade auf ne wichtige Matheklausur vor und arbeite mich jetzt durch die Übungsaufgaben und bräuchte bei der folgenden Aufgabe eure Hilfe:
Konvergenz der Folge [mm] \wurzel {n^2 + 1} - \wurzel {n^2 - 1} [/mm]
Danke :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Rudi,
ich denke, deine Folge ist konvergent.
Erweitere mal den Wurzelausdruck so, dass die 3. binomische Formel entsteht, also mit
[mm] \frac{\sqrt{n^2+1}\red{+}\sqrt{n^2-1}}{\sqrt{n^2+1}\red{+}\sqrt{n^2-1}}
[/mm]
Dann bissl zusammenfassen, im Nenner [mm] n^2 [/mm] unter den Wurzeln ausklammern und "rausholen"...
Dann siehste das... 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:23 Di 24.07.2007 | | Autor: | arena |
Moin,
öhm...sorry, aber ich bin mathematisch leider nicht sehr begabt. Könntest du mir n bissl ausführlicher erklären was du meinst? Die anderen Aufgaben von dem Typ die ich bereits gelöst habe sahen meist so aus, dass n Bruch gegeben war und ich eigentlich nur jeweils die höchste Potenz ausklammern musste. Wie komm ich denn auf die 3. bin. Formel und von da aus weiter?
Danke für deine Hilfe
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Hallo,
schachuzipus schreibt doch:
"Erweitere mal den Wurzelausdruck so, dass die 3. binomische Formel entsteht, also mit
$ [mm] \frac{\sqrt{n^2+1}\red{+}\sqrt{n^2-1}}{\sqrt{n^2+1}\red{+}\sqrt{n^2-1}} [/mm] $"
Hast Du denn das getan? Was steht denn jetzt da? Und: wie geht denn eigentlich die 3.binomische Formel?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:45 Di 24.07.2007 | | Autor: | arena |
Na die 3. lautet doch (a+b) * (a-b) = a² - b², oder? So was ähnliches steht ja in der Aufgabe, ich seh aber leider nich wie mir das hilft. Erweitern heisst doch dass ich den angegebenen Term unten und oben multiplizieren muss, oder? Wie komm ich denn ausgerechnet auf den oben genannten Term? Ich fürchte ihr müsst bei mir ganz vorne anfangen *schäm*
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> Na die 3. lautet doch (a+b) * (a-b) = a² - b², oder?
Ja. Und das wirst Du später gut gebrauchen können.
So was
> ähnliches steht ja in der Aufgabe, ich seh aber leider nich
> wie mir das hilft.
Hast Du es bereits getan? Manches muß man tun, um es zu verstehen.
Das, was schachuzipus Dir sagt, ist ein Standardtrick. Hat man ihn 3x gesehen und gestaunt, wendet man ihn beim 4. Mal dann selber an...
> Erweitern heisst doch dass ich den
> angegebenen Term unten und oben multiplizieren muss, oder?
Erweitern bedeutet, daß man einen Term oben und unten mit demselben multipliziert. Der Wert ändert sich daurch nicht, denn es ist ja z.B [mm] *\bruch{137}{137} [/mm] dasselbe wie *1.
Du sollst Deinen "Folgenterm" mit [mm] \frac{\sqrt{n^2+1}\red{+}\sqrt{n^2-1}}{\sqrt{n^2+1}\red{+}\sqrt{n^2-1}} [/mm] multiplizieren.
> Wie komm ich denn ausgerechnet auf den oben genannten Term?
Weil man es schon oft gesehen hat, anfänglich mit offenem Mund gestaunt hat und nun andere damit beeindruckt.
Wenn Du es jetzt bitte einfach mal tun würdest??? (Es explodiert nichts, und wir wollen Dein Staunen endlich sehen!)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Di 24.07.2007 | | Autor: | arena |
*staun*  Danke jetz hab ichs fast.
Hab jetzt umgeformt bis [mm] \bruch {2} {\wurzel {n^2 + 1} + \wurzel {n^2 - 1} } [/mm]
Wogegen konvergiert die Folge denn jetzt?
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> *staun*
Siehste!
> Danke jetz hab ichs fast.
> Hab jetzt umgeformt bis [mm]\bruch {2} {\wurzel {n^2 + 1} + \wurzel {n^2 - 1} }[/mm]
>
> Wogegen konvergiert die Folge denn jetzt?
jetzt überlegst Du Dir, wogegen die beiden Terme im Nenner jeweils konvergieren und was folglich der Bruch tut.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Di 24.07.2007 | | Autor: | arena |
beide Terme werden immer größer, also wird der Nenner immer größer und der gesamte Bruch läuft gegen 0?
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> beide Terme werden immer größer, also wird der Nenner immer
> größer und der gesamte Bruch läuft gegen 0?
Genau.
(Ahnen konnte man das ja schon, als man $ [mm] \wurzel {n^2 + 1} [/mm] - [mm] \wurzel {n^2 - 1} [/mm] $ angeschaut hat. "Rein gefühlsmäßig" unterscheiden sich die beiden Terme für große n fast nicht.)
Gruß v. Angela
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"Mit dem 3. Binom erweitern" heisst
[mm] \wurzel{n^2+1} - \wurzel{n^2-1} = \bruch{\wurzel{n^2+1} - \wurzel{n^2-1}}{1} \cdot \bruch{\wurzel{n^2+1} +\wurzel{n^2-1}}{\wurzel{n^2+1} +\wurzel{n^2-1}} [/mm]
zu berechnen. Im Zähler kann dann zum ausrechen die 3. Binomsche Formel angewendet werden.
Nach dieser Termumformung kannst Du die Konvergenz einfach bestimmen.
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