Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Di 06.10.2015 | | Autor: | Scherben |
| Aufgabe | Wir betrachten rationale Folgen der Form [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{p(n)}{q(n)}. [/mm] Untersuchen Sie solche Folgen auf Konvergenz (mit stichhaltigen mathematischen Begründungen) in den Fällen:
(a) p(n) = [mm] n^{3} [/mm] - 5 und q(n) = [mm] 50n^2 [/mm] - 20n
(b) p(n) = [mm] n^{10} [/mm] und q(n) = n!. |
a) Ich Behaupte das [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n^{3} - 5}{50n^2 - 20n} [/mm] nicht konvergiert, sondern gegen unendlich strebt,
wenn ich nämlich für n=50 einsetze kann ich die Gleichung ja auch umschreiben zu [mm] a_{50} [/mm] = [mm] \bruch{50*50*50 - 5}{50*50*50 - 20*50}. [/mm] Die Zahl im Zähler ist also größer als die Zahl im Nenner, was sich auch bei n+1 nicht ändert.
b) Bei [mm] \bruch{n^{10}}{n!} [/mm] wird n! ab irgendeinem n immer größer werden (ich hab leider keine Idee welches n das ist). Wenn der Nenner schneller steigt als der Zähler konvergiert die Zahl gegen 0.
Soviel zu meinem Verständnis, aber sind das stichhaltige mathematische Begründungen? Und hat jemand einen Tipp wie ich bei b) auf ein genügend großes n kommen kann?
Vielen Dank schonmal! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Mi 07.10.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wir betrachten rationale Folgen der Form [mm]a_{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{p(n)}{q(n)}.[/mm] Untersuchen Sie solche Folgen auf
> Konvergenz (mit stichhaltigen mathematischen Begründungen)
> in den Fällen:
>
> (a) p(n) = [mm]n^{3}[/mm] - 5 und q(n) = [mm]50n^2[/mm] - 20n
> (b) p(n) = [mm]n^{10}[/mm] und q(n) = n!.
> a) Ich Behaupte das [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n^{3} - 5}{50n^2 - 20n}[/mm]
> nicht konvergiert, sondern gegen unendlich strebt,
> wenn ich nämlich für n=50 einsetze kann ich die Gleichung
> ja auch umschreiben zu [mm]a_{50}[/mm] = [mm]\bruch{50*50*50 - 5}{50*50*50 - 20*50}.[/mm]
> Die Zahl im Zähler ist also größer als die Zahl im
> Nenner, was sich auch bei n+1 nicht ändert.
Klammere mal n³ aus.
[mm] \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^{3}-5}{50n^{2}-20n}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^{3}\cdot\left(1-\frac{5}
{n^{3}}\right)}{n^{3}\cdot\left(\frac{50}{n}-\frac{20}{n^{2}}\right)}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1-\frac{5}{n^{3}}}{\frac{50}{n}-\frac{20}{n^{2}}}
[/mm]
Nun solltest du erkennen, dass die Folge gegen [mm] \infty [/mm] kovergiert, denn der Zähler geht gegen 1, der Nenner aber gegen 0.
>
> b) Bei [mm]\bruch{n^{10}}{n!}[/mm] wird n! ab irgendeinem n immer
> größer werden (ich hab leider keine Idee welches n das
> ist). Wenn der Nenner schneller steigt als der Zähler
> konvergiert die Zahl gegen 0.
Mach es dir einfacher:
[mm] =\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^{10}}{n!}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n\cdot\ldots\cdot n}{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot(n-10)\cdot(n-11)!}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n}\cdot\frac{n}{n-1}\cdot\ldots\cdot\frac{n}{n-10}\cdot\frac{1}{(n-11)!}
[/mm]
Nun bist du wieder dran.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:49 Mi 07.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Marius!
> Mach es dir einfacher:
> [mm]=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^{10}}{n!}[/mm]
> [mm]=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n\cdot\ldots\cdot n}{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot(n-10)\cdot(n-11)!}[/mm]
>
> [mm]=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n}\cdot\frac{n}{n-1}\cdot\ldots\cdot\frac{n}{n-10}\cdot\frac{1}{(n-11)!}[/mm]
Du meinst
[mm] \frac{n^{10}}{n!}=\frac{n}{n}*\frac{n}{n-1}*\frac{n}{n-2}*\frac{n}{n-3}*\frac{n}{n-4}*\frac{n}{n-5}*\frac{n}{n-6}*\frac{n}{n-7}*\frac{n}{n-8}*\frac{n}{n-9}*\frac{1}{(n-10)!}.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Mi 07.10.2015 | | Autor: | Scherben |
Hallo nochmal und danke für die Hilfestellung,
a) hab ich soweit verstanden, bei b) habe ich jetzt diese Lösung, ich hoffe das stimmt alles soweit:
[mm] \bruch{n^{10}}{n!}= \bruch{n}{n-1}* \bruch{n}{n-2}*\bruch{n}{n-3}* \bruch{n}{n-4}* \bruch{n}{n-5}*\bruch{n}{n-6} *\bruch{n}{n-7}* \bruch{n}{n-8}*\bruch{n}{n-9}*\bruch{n}{(n-10)!} [/mm]
= [mm] \bruch{n*1}{n*(1-\bruch{1}{n})}* \bruch{n*1}{n*(1-\bruch{2}{n})}*\bruch{n*1}{n*(1-\bruch{3}{n})}* \bruch{n*1}{n*(1-\bruch{4}{n})}* \bruch{n*1}{n*(1-\bruch{5}{n})}*\bruch{n*1}{n*(1-\bruch{6}{n})} *\bruch{n*1}{n*(1-\bruch{7}{n})}* \bruch{n*1}{n*(1-\bruch{8}{n})}*\bruch{n*1}{n*(1-\bruch{9}{n})}*\bruch{1}{(n-10)!} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{(1-\bruch{1}{n})}* \bruch{1}{(1-\bruch{2}{n})}*\bruch{1}{(1-\bruch{3}{n})}* \bruch{1}{(1-\bruch{4}{n})}* \bruch{1}{(1-\bruch{5}{n})}*\bruch{1}{(1-\bruch{6}{n})} *\bruch{1}{(1-\bruch{7}{n})}* \bruch{1}{(1-\bruch{8}{n})}*\bruch{1}{(1-\bruch{9}{n})}*\bruch{1}{(n-10)!} [/mm]
[mm] \bruch{1}{(1-\bruch{1}{n})}*...*\bruch{1}{(1-\bruch{9}{n})} [/mm] konvergiert im Nenner gegen 1 und [mm] \bruch{1}{(n-10)!} [/mm] geht im Nenner gegen unendlich, somit konvergiert die Folge gegen 0.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Mi 07.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
Passt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Übrigens: Die "stichhaltige mathematische Begründung" ist die Anwendung der Grenzwertsätze.
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> Klammere mal n³ aus.
>
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^{3}-5}{50n^{2}-20n}[/mm]
> [mm]=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^{3}\cdot\left(1-\frac{5}
{n^{3}}\right)}{n^{3}\cdot\left(\frac{50}{n}-\frac{20}{n^{2}}\right)}[/mm]
>
> [mm]=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1-\frac{5}{n^{3}}}{\frac{50}{n}-\frac{20}{n^{2}}}[/mm]
>
> Nun solltest du erkennen, dass die Folge gegen [mm]\infty[/mm]
> kovergiert, denn der Zähler geht gegen 1, der Nenner aber
> gegen 0.
Schöner, um 0 im Nenner zu vermeiden ist bei gebrochen-rationalen Funktionen:
Klammere n mit der HÖCHSTEN POTENZ aus, die im NENNER vorkommt, also hier [mm] n^2. [/mm] Auf diese Weise konvergiert der Nenner immer gegen eine Zahl [mm] \ne [/mm] 0.
[mm]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^{3}-5}{50n^{2}-20n}[/mm]
[mm]=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^{2}\cdot\left(n-\frac{5}
{n}\right)}{n^{2}\cdot\left(50-\frac{20}{n^2}\right)}[/mm]
[mm]=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n-\frac{5}
{n}}{50-\frac{20}{n^2}}[/mm]
Nun solltest du erkennen, dass die Folge gegen [mm]\infty[/mm]
kovergiert, denn der Zähler geht gegen [mm] \infty, [/mm] der Nenner aber
gegen 50.
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