Konvergenz v. Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Mi 25.01.2006 | | Autor: | lydl87 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie ob die folgenden reihen konvergieren!
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\wurzel[4]{n^(-(1+1/n)^(n+1))}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k+4}{k²-3k+1}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{7^n*n!}{n^n} [/mm] |
Hallo!
kann mir bitte jemand sagen,welche kriterien ich bei diesen Reihen anwenden soll und wie das Ergebnis dann aussieht?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Lydia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Mi 25.01.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
da solltest Du mal etwas rumprobieren und uns dann Deine Ansätze mitteilen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Mi 25.01.2006 | | Autor: | lydl87 |
Hey!
zu a) hab ich keine Idee.
bei b) habe ich das Quotientenkriterium angewendet und ich komme damit auf 1,d.h. das Quotientenkriterium sagt in diesem Fall nichts über die Konvergenz aus. Bei dem Wurzelkriterium komme ich auf
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{\bruch{1+\bruch{4}{k}}{k-3+\bruch{1}{k}}} [/mm] ,kann ich das jetzt weiter vereinfachen oder heißt das der Grenzwert geht gegen 0,d.h. die Reihe konvergiert absolut(da bei Wurzelkriterium gilt wenn [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} a_{k}<1 [/mm] dann konvergiert die Reihe absolut.)Leibnizkriterium kann ich da natürlich nicht anwenden und irgendwie die reihe vereinfachen oder umstellen kann ich auch nicht.D.h. es bleibt nur noch das Vergleichskriterium, mit dem ich etwas Probleme habe.
bei c) habe ich das Quotientenkriterium angewendet und komme damit auf
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} 7*(\bruch{n}{n+1})^n [/mm] . Heißt das der Grenzwert der Folge [mm] a_{k} [/mm] ist 0 und somit konvergiert die Reihe wieder absolut?
Liebe Grüße,Lydia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Mi 25.01.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallöchen nochmal,
zu a) erstmal:
Sehen wir uns den Radikanden mal genauer an:
[mm] n(-(1+\bruch{1}{n})(n+1)) [/mm] = [mm] n(-(n+1+1+\bruch{1}{n})) [/mm] = [mm] -(n^{2}+2n+1) [/mm] = [mm] -(n+1)^{2}
[/mm]
Da durch das Quadrat die Klammer positiv wird (bzw. bleibt) und ein Minus davor steht, ist der Radikand für alle n [mm] \in \IN [/mm] negativ, d.h. die Wurzel ist nicht definiert und daher eine Reihenkonvergenz-Überlegung unnötig.
Versuche mich grad an b und c....
LG, Matthias.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:07 Mi 25.01.2006 | | Autor: | lydl87 |
Hey!
Ich glaub die Reihe wurde nicht richtig geschrieben!
sie lautet :(ohne wurzel)
[mm] n^{-(1+\bruch{1}{n})}^{n+1} [/mm] (in Worten n hoch [mm] -(1+\bruch{1}{n} [/mm] )hoch (n+1) )
Ansonsten wäre die Reihe natürlich kein Problem gewesen.
Die Reihe sah in der Aufgabenstellung wirklich sehr undeutlich aus. Irgendwie kann diese Reihe nicht als Grafik dargestellt werden!(durch 2 mal hoch).Tut mir Leid!Danke trotzdem für deine Bemühungen!
LG Lydia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Tequila |
hi
[mm] 7*(\bruch{n}{n+1})^{n} [/mm] kannst du nochmal durch n teilen
dann erhälst du
[mm] 7*(\bruch{1}{1+1/n})^{n}
[/mm]
weiteres umformen ergibt dann
[mm] \bruch{7}{e}
[/mm]
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