Konvergenz v. Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Mi 16.12.2009 | | Autor: | bAbUm |
Guten Tag
Ich muss eine Potenzreihe auf Konvergenz untersuchen bin mir da aber nicht so sicher, ob ich das jetzt verstanden habe.
Ich stelle meine Fragen anhand eines Beispiels
Die Form: [mm] \summe_{i=0}^{\infty} a_k(x-x_0)^k
[/mm]
mein Beispiel:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n2^n}
[/mm]
[mm] a_n=\bruch{1}{n2^n}
[/mm]
zwischenfrage: wie komme ich auf [mm] a_n? [/mm] Wo ist das [mm] x^n [/mm] hin? Kann ich das einfach so weglassen, weil ich nur [mm] a_n [/mm] dafür brauche?:
r= [mm] \bruch{|a_n|}{|a_n_+1}
[/mm]
der Rest ist leicht. Einfach mit dem Kehrwert des Quotientenkrit. (Formel von Hadamard???) berechnen. Da kommt dann ein Konvergenzradius von 2 raus.
habe ich die Konvergenz jetzt schon vollständig nachgewiesen (für |x|<2 konvergent (absolut) und für |x|>2 divergent)?
was muss ich sonst noch tun?
in einer Aufgabe soll ich nun [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{k}*z^k [/mm] auf Konvergenz untersuchen. es kommt ein Konvergenzradius von r=1 raus. ich hätte jetzt geschlussfolgert, dass für |z|<1 Konvergenz und für |z|>1 Divergenz vorliegt? (wie im obigen Beispiel)
doch in meinem Skript steht, dass diese Reihe für z=-1 und auch |z|=1 mit [mm] z\not=1 [/mm] konvergiert und für z=1 divergiert.
wie komme ich darauf?
Vieeelen Dank für Eure Hilfe
gruß bAbUm
|
|
| |
|
Hallo,
bei der Konvergenz von Reihen liefert das QK nur eine Aussage über das offene Intervall [mm] ]-r-x_0;r+x_0[. [/mm] Die Randpunkte müssen separat über Einsetzen betrachtet werden. Bei der zweiten Reihe ist das z.B. über das Leibniz-Kriterium abgeklärt.
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Mi 16.12.2009 | | Autor: | bAbUm |
danke nochmals. nur sind da noch ein Paar Fragen unbeantwortet.
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo bAbUm,
> danke nochmals. nur sind da noch ein Paar Fragen
> unbeantwortet.
Nun, die Frage nach dem $x^k$
Für Potenzreihen $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k\cdot{}(x-x_0)^k$ gibt es eigens Kriterien, mit denen du den Konvergenzradius $r\in[0,\infty]$ (soll heißen, $\infty$ ist als Konvergenzrasius zugelassen) berechnen kannst.
Das wäre zum einen das Kriterium von Cauchy-Hadamard (in Anlehnung an das Wurzelkrit. für "gewöhnliche" Reihen), gem. dem zu berechnen ist
$r=\frac{1}{\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}$
Und (ich glaube das heißt Krit. von Euler) - in Anlehnung an das QK, ist zu berechnen (so der folgende Quotient definiert ist):
$r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|$
Beide Male wird festgesetzt: $\frac{1}{0}:=\infty$ und $\frac{1}{\infty}:=0$
Das liefert dir Konvergenz für $|x-x_0|<r$ und Divergenz für $|x-x_0|>r$
Im Falle $|x-x_0|=r$, also $x=x_0-r$ und $x=x_0+r$ im Reellen bzw. für den Rand des Konvergenzkreises $|x-x_0|=r$ im Komplexen liefern die Kriterien keine Aussage.
Diese x-Werte musst du dann in die Reihe einsetzen und die Konvergenz mit den "üblichen" Kriterien separat prüfen.
Herleiten kannst du dir die beiden Kriterien leicht aus dem WK bzw. QK.
Fasse dazu deine Potenzreihe $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k\cdot{}(x-x_0)^k$ als "gewöhnliche" Reihe $\sum\limits_{k=0}^{\infty}b_k$ mit $b_k=a_k\cdot{}(x-x_0)^k$ auf und wende die Kriterien (WK oder QK) geradeheraus an.
Einfach durchrechnen!
Zu deinem Bsp.
Die Reihe, die du angegeben hast, ist ziemlich unsinnig, bzw. hat für jedes i dasselbe konstante Glied $\frac{1}{k}z^k$
Oben steht $\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{1}{k}\cdot{}z^k$
Gemeint ist wahrscheinlicher $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\cdot{}z^k$
Konvergenzradius ist in der Tat 1, dh. Konvergenz für $|z|<1$ und Divergenz für $|z|>1$
Was ist mit denjenigen $z\in\IC$ mit $|z|=1$
Für $z=-1$ hast du $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\cdot{}(-1)^k$
Und das ist doch die alternierende harmonische Reihe, die bekanntermaßen konvergent ist
Für $z=1$ hast du die Reihe $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\cdot{}1^k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$
Und die Reihe kennst du auch (harmonische Reihe). Divergent!
Wie sieht's nun auf dem Rest des Randes des Einheitskreises, also für $z\in\IC$, $z\neq\pm 1$ mit $|z|=1$ aus?
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Mi 16.12.2009 | | Autor: | bAbUm |
Suuper. Danke. Jetzt versteh ich das schon eher.
Es ist ein bischen verwirrend wann ich welches Kriterium anwenden muss.
Gruß bAbUm
|
|
|
|
