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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz unendlicher Reihen
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Konvergenz unendlicher Reihen: Konvergenzuntersuchung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Fr 08.07.2005
Autor: egidijux

Hallo,

ich bitte um Hilfe, bei der Konvergenzuntersuchung folgender Reihe:

[mm]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^2 \cdot 3^n}{(4 \cdot n) !} [/mm]

Bei der Konvergenzuntersuchung hab ich noch nicht wirklich durchgeblickt und  wuerde mich bei Hilfe freuen.

danke schonmal

egidijux

PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

PS: bitte diesen Artikel in das Forum UNI/Analysis verschieben. (Habe die Auswahlliste nicht bis Ende betrachtet)

        
Bezug
Konvergenz unendlicher Reihen: Quotientenkriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:39 Fr 08.07.2005
Autor: Loddar

Hallo egidijux!


Für die Konvergenz von unendlichen Reihen [mm]\sum_{n=0}^{\infty} a_n[/mm] gibt es verschiedene MBKonvergenzkriterien.


> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^2 \cdot 3^n}{(4 \cdot n) !}[/mm]


In unserem Falle gilt ja [mm] $a_n [/mm] \ := \ [mm] \frac{(n!)^2 \cdot 3^n}{(4n) !}$ [/mm] , und hier bietet sich das MBQuotientenkriterium an:

[mm] $\limsup_{n\rightarrow\infty} [/mm] \ [mm] \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ q \ < \ 1$



Du mußt nun zeigen:

[mm] $\limsup_{n\rightarrow\infty} [/mm] \ [mm] \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty} [/mm] \ [mm] \bruch{\frac{[(n+1)!]^2 \cdot 3^{n+1}}{[4(n+1)]!}}{\frac{(n!)^2 \cdot 3^n}{(4n)!}} [/mm] \ = \ [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty} [/mm] \ [mm] \bruch{(n+1)!*(n+1)! \cdot 3^n*3^1*(4n)!}{(4n+4)!*n!*n! \cdot 3^n} [/mm] \ = \ ... \ [mm] \le [/mm] \ q \ < \ 1$

Diesen gewaltigen Bruch mußt Du nun durch Umformen, Kürzen etc. vereinfachen und davon dann den Grenzwert bestimmen.

[aufgemerkt] Tipp: $(n+1)! \ = \ n!*(n+1)$
(analog auch auf $(4n+4)!_$ anwenden!)


Ich habe letztendlich erhalten: [mm] $\limsup_{n\rightarrow\infty} [/mm] \ [mm] \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \red{0} [/mm] \ < \ 1$

Was folgt also daraus?


Allgemeines findest Du auch hier: []Wikipedia


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Konvergenz unendlicher Reihen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:11 So 10.07.2005
Autor: egidijux

Hallo,

das mit dem Quotientenkriterium ist mir jetzt klar geworden, allerdings ist folgende Reihe schon wieder etwas anderes, ich denke mal das Leibnitz-Kriterium, damit komm ich aber auch noch nicht so ganz zurecht.

[mm]\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{(2x)^k}{k} , x \in \IR[/mm]

danke schonmal

egidijux

PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bezug
                        
Bezug
Konvergenz unendlicher Reihen: Notwendiges Kriterium beachten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 So 10.07.2005
Autor: Loddar

Hallo egidijux!


> ich denke mal das Leibnitz-Kriterium, damit komm
> ich aber auch noch nicht so ganz zurecht.
>  
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{(2x)^k}{k} , x \in \IR[/mm]

Durch das Vorhandensein einer alternierenden Reihe wird man natürlich leicht auf das []Leibniz-Kriterium "geschubst".


Für die Konvergenz einer unendlichen Reihe [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}a_k$ [/mm] muß aber auch das folgende notwendige Kriterium erfüllt sein:

[aufgemerkt]   [mm] $a_k$ [/mm] ist Nullfolge, d.h. es gilt: [mm] $\limes_{k\rightarrow \infty} a_k [/mm] \ = \ 0$


Gilt das auch für o.g. Folge?


Gruß
Loddar

Bezug
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