Konvergenz unendlicher Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Sa 29.12.2007 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | Untersuchen sie die folgende unendliche Reihe auf Konvergenz!
[mm] \summe_{n=1}^{°°}(-n+\wurzel{n^2+1}) [/mm] |
Hallo, also ich weiß, dass ich für die Konvergenz untersuchen muss ob die zugehörige Folge eine Nullfolge ist (notwendiges Kriterium) und dann noch mit Wurzel-, Quotienten- oder Vergleichskriterium ein hinreichendes Kriterium erfüllen. Bei den anderen Beispielen hat immer Wurzel- oder Quotientenkriterium funktioniert und hier braucht man meiner Meinung nach eine Minorante bzw. Majorante.
Ich hab erstmal das mit der Nullfolge erledigt und dazu mit der 3. Binomischen Formel ausgerechnet, dass
[mm] -n+\wurzel{n^2+1}=1/(\wurzel{n^2+1}+n), [/mm] dann ist das mit der Nullfolge leicht zu sehen.
Mein Problem ist das Vergleichskriterium: ich habe versucht eine harmonische Reihe zu benutzen, nur irgendwie klappt das nicht weil die ja divergent ist. Welche Folge könnte ich zum vergleich nehmen und wie komme ich darauf?
Vielen Dank!
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> [mm]-n+\wurzel{n^2+1}=1/(\wurzel{n^2+1}+n),[/mm]
>
> ich habe versucht
> eine harmonische Reihe zu benutzen,
Hallo,
die Idee mit der harmonischen Reihe ist doch so übel nicht - vermutlich hast Du in die verkehrte Richtung abgeschätzt.
Du kannst wie folgt abschätzen
[mm] -n+\wurzel{n^2+1}=1/(\wurzel{n^2+1}+n)>\bruch{1}{\wurzel{n^2+2n+1}+n}=\bruch{1}{2n+1}>\bruch{1}{2(n+1)}
[/mm]
Nun überlege Dir, warum man mit [mm] \bruch{1}{2(n+1)} [/mm] eine Minorante gefunden hat.
Gruß v. Angela
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Also ich sitze an der selben aufgabe, allerdings verstehe ich noch nicht ganz, warum 2/2(n+1) als minorante ausreicht.
also laut minorantenkriterium kann ich ja sagen, dass, wenn ich eine folge finde, die kleiner als die gegebene folge ist und gegen unendlich konvergiert, dass dann auch die gegebene folge gegen unendlich konvergiert.
aber 2/2(n+1) konvergiert ja nicht gegen unendlich, sondern gegen 0.
inwiefern kann ich damit jetzt auf die konvergenz der gegebenen folge schließen?
vielen dank im voraus, die_conny
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Hallo,
ich hatte einen Tippfehler in meinem vorhergehenden Post, welchen ich korrigiert habe.
Die vorgeschlagene Minorante ist [mm] \bruch{1}{2(n+1)}.
[/mm]
> inwiefern kann ich damit jetzt auf die konvergenz der
> gegebenen folge schließen?
Achtung! Wir sprechen hier über die Konvergenz der Reihe $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-n+\wurzel{n^2+1}) [/mm] $.
Entsprechend interessiert die Konvergenz der Reihe $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2(n+1)} [/mm] $.
Wenn man zeigen kann, daß diese Reihe divergiert, so hat man die Divergenz der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-n+\wurzel{n^2+1}).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 So 30.12.2007 | | Autor: | dieanne |
Hallo,
erstmal vielen Dank für die Antwort. Ist mir soweit alles klar und ich habe jetzt versucht zu zeigen das die Vergleichsreihe divergent ist. Hab es zuerst mit dem Quotientenkriterium versucht, was nicht klappt, weil der Grenzwert ist 1, der Quotient aber kleiner als 1 ist. War ja irgendwie auch klar, weil es ja eine Art harmonische Reihe ist, aber wie zeige ich nun die Divergenz? Gibt es dafür eine Art "gängiges Vorgehen"? Logisch ist es schon, weil ja die Reihe zur Folge 1/k divergent ist und jetzt hab ich halt 1/(2k+2) was ja an dem Exponenten nichts ändert und nur bewirkt, dass die Reihe "langsamer" über alle Grenzen wächst. Wie mach ich das mathematisch sauber? So das es ordentlich begründet ist?
Vielen Dank!
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Hallo Anne,
ich denke, am einfachsten ist es, die Reihe [mm] $\sum\frac{1}{2(k+1)}$ [/mm] noch weiter abzuschätzen, bis am Ende die harmonische Reihe in "Reinform" dasteht als divergente Minorante
Also [mm] $\sum\frac{1}{2(k+1)}=\frac{1}{2}\sum\frac{1}{k+1} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] \frac{1}{2}\sum\frac{1}{k+\red{k}}=\frac{1}{2}\sum\frac{1}{2k}=\frac{1}{4}\sum\frac{1}{k}$
[/mm]
Nun kannst du mit der Divergenz der harmon. Reihe argumentieren
Wenn [mm] $\sum\frac{1}{k}=\infty$ [/mm] ist, dann ist [mm] $\frac{1}{4}\sum\frac{1}{k}=\frac{1}{4}\infty=\infty$
[/mm]
Du hast also insgesamt eine Abschätzungskette, in der ganz links deine Ursprungsreihe als "größte" Reihe steht und ganz rechts die harmonische Reihe, die gegen [mm] \infty [/mm] divergiert.
Was bleibt also da deiner (größeren) Reihe übrig, als auch gegen [mm] \infty [/mm] zu divergieren?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 So 30.12.2007 | | Autor: | dieanne |
Alles klar, das ist echt gut  Kann ich die Sache auch noch weiter vereinfachen indem ich gleich beim Abschätzen der Folge bis zur Folge die zur harmonischen Reihe gehört abschätze, oder geht das nicht? So z.B.:
[mm] 1/(\wurzel{n^2+1}+n)>1/(\wurzel{n^2+2n+1}+n)=1/(2n+1)>1/(2(n+1))>1/(2(n+n))>1/(4n)
[/mm]
Dann nehme ich gleich [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/(4n)=1/4\summe_{i=1}^{\infty}1/(n)=\infty
[/mm]
Vielen Dank!
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