Konvergenz unendliche Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Mi 01.07.2015 | | Autor: | jengo32 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die unendliche Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{ln(n+1)} [/mm] |
Hallo,
bei obiger Aufgabe komme ich ins trudeln.
Ich möchte die Aufgabe anhand des Quotientenkriteriums lösen.
[mm] \bruch{an+1}{an}
[/mm]
Das wäre in diesem Fall:
[mm] \bruch{ln(n+1)}{ln(n+2)}
[/mm]
Wie muss ich jetzt weiter verfahren um die Konvergenz zu überprüfen?
Wie immer vielen Dank im Voraus
Jengo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Mi 01.07.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Jengo!
> Wie muss ich jetzt weiter verfahren um die Konvergenz zu überprüfen?
Es ist
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\ln(n+1)}{\ln(n+2)}\to [/mm] 1$ für [mm] n\to\infty [/mm] (Warum?),
also liefert das Quotienkriterium keine Aussage.
Tipp: Minorantenkriterium.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Mi 01.07.2015 | | Autor: | jengo32 |
> > Wie muss ich jetzt weiter verfahren um die Konvergenz zu
> überprüfen?
>
> Es ist
>
> [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\ln(n+1)}{\ln(n+2)}\to 1[/mm] für
> [mm]n\to\infty[/mm] (Warum?),
Mir ist nicht klar, warum ich hier auf 1 komme. Kannst du mir das anschaulich verdeutlichen wie ich auf diesen Wert komme ? Sieht man das mit bloßem Auge und ich bin wieder nur zu blind  ?
>
> also liefert das Quotienkriterium keine Aussage.
>
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Mi 01.07.2015 | | Autor: | DieAcht |
> > Es ist
> >
> > [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\ln(n+1)}{\ln(n+2)}\to 1[/mm] für
> > [mm]n\to\infty[/mm] (Warum?),
>
> Mir ist nicht klar, warum ich hier auf 1 komme. Kannst du
> mir das anschaulich verdeutlichen wie ich auf diesen Wert
> komme ? Sieht man das mit bloßem Auge und ich bin wieder
> nur zu blind ?
Was dürft ihr denn schon benutzen? Eine Möglichkeit:
Offensichtlich ist [mm] \ln(n+1)\to\infty\quad(n\to\infty) [/mm] und [mm] \ln(n+2)\to\infty\quad(n\to\infty),
[/mm]
so dass mit L'Hôpital und den Grenzwertsätzen gilt
[mm] \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)}{\ln(n+2)}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{1+0}{1+0}=1.
[/mm]
Wie gesagt: Verwende das Minorantenkriterium!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Mi 01.07.2015 | | Autor: | jengo32 |
> Was dürft ihr denn schon benutzen?
Wir benutzen nur das Quotientenkriterium und das Wurzelkriterium.
> Wie gesagt: Verwende das Minorantenkriterium!
Das kenne ich leider noch nicht
Eine andere Frage. Ich merke, dass ich noch ziemliche Schwierigkeiten mit dem Thema habe.
1. Wenn ich eine Reihe auf Konvergenz überprüfen möchte, inwieweit spielt der Grenzwert dabei eine Rolle ?
Also so wie ich das verstanden habe, habe ich doch verschiedene Kriterien bei Reihen, mit denen ich am Ende einen Wert errechne, und wenn dieser <1 ist, dann liegt Konvergenz vor, wenn =1 keine Aussage und wenn >1, dann Divergenz.
Den Wert den ich am Ende rausbekomme, ist ja aber nicht mein Grenzwert. Inwieweit braucht man jetzt den Grenzwert um auf Konvergenz zu überprüfen? Wende ich die Regel von L'hospital an wenn ich einen unbestimmten Ausdruck habe, wie es hier der Fall ist?
Die ganze Sache ist mir noch nicht geheuer. Ich wäre auch für verständliche Internet-Links dankbar...
LG Jengo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Mi 01.07.2015 | | Autor: | abakus |
Hallo,
das Minorantenkriterium verwendet man um zu zeigen, dass eine Reihe NICHT konvergiert. Insofern hat man dir damit schon den Tipp gegeben, dass deine Reihe divergiert.
Das Prinzip ist folgendes: Man vergleicht die zu untersuchende Reihe mit einer anderen Reihe. Von dieser anderen Reihe sind alle Summanden kleiner als die Summanden der zu untersuchenden Teihe, aber trotz dieser kleineren Summanden weiß man, dass selbst diese Reihe divergiert. Dann muss die Reihe mit den größeren Summanden erst recht divergieren.
Möglicherweise ist dir bekannt dass [mm] $ln(x+1)\le [/mm] x$ gilt. Daraus folgt, dass immer [mm] $\frac{1}{ln(n+1)}\ge \frac1n$ [/mm] ist.
Und die bereits die Reihe von [mm] $\frac1n$ [/mm] divergiert...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Do 02.07.2015 | | Autor: | jengo32 |
> Das Prinzip ist folgendes: Man vergleicht die zu
> untersuchende Reihe mit einer anderen Reihe. Von dieser
> anderen Reihe sind alle Summanden kleiner als die Summanden
> der zu untersuchenden Teihe, aber trotz dieser kleineren
> Summanden weiß man, dass selbst diese Reihe divergiert.
> Dann muss die Reihe mit den größeren Summanden erst recht
> divergieren.
Also um festzuhalten: Ich habe eine Reihe A und "suche" mir jetzt eine (beliebige (?) ) Reihe B, von der ich schon weiß dass sie divergent ist und kleiner ist als Reihe A. Da Reihe B divergiert muss Reihe A auch divergieren. Ist das soweit richtig?
Die Reihe 1/n ist ja die Harmonische Reihe wenn ich nicht falsch liege. Kann ich für dieses Kriterium immer die Harmonische Reihe verwenden (vorausgesetzt sie ist halt kleiner als meine gegebene Reihe A ?)
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Im Prinzip ist alles richtig was du schreibst.
> Kann ich für dieses Kriterium immer die Harmonische Reihe verwenden
> (vorausgesetzt sie ist halt kleiner als meine gegebene Reihe A ?)
Wenn die harmonische Reihe eine minorante deiner Reihe ist, dann kannst du das natürlich tun.
Es wird aber nicht so sein, dass du für jede divergente Reihe immer die harmonische Reihe benutzen kannst um die Divergenz zu zeigen.
Oftmals kann man es jedoch schon auf die harmonische Reihe zurückführen.
Das geht aber natürlich nicht immer und man muss sich etwas besseres überlegen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Do 02.07.2015 | | Autor: | jengo32 |
Ok, soweit denke habe ich das dann glaube ich verstanden.
Das bedeutet dann aber auch, dass ich am besten ein paar bekannte divergente und konvergente reihen im Kopf haben sollte, damit ich zügig das Majoranten- und Minorantenkriterium in einer Klausur anwenden kann.
Fazit der Aufgabe ist, dass meine Reihe 1/ln(n+1) > der Reihe 1/n ist. Und da bekanntermaßen die Harmonische Reihe div. muss auch die Reihe von 1/ln(n+1) divergieren.
Majorantenkriterium um Konvergenz zu zeigen und Minorantenkriterium um Divergenz zu zeigen
Falls das so stimmt, danke ich euch allen herzlichst und werde mich bei weiteren Aufgaben wieder im Forum melden
Jengo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:45 Do 02.07.2015 | | Autor: | jengo32 |
> Aber schau' Dir auch meine andere Antwort mit dem Hinweis
> auf den
> Cauchyschen Verdichtungssatz an!
Bin ich gerade dabei
> Gruß,
> Marcel
Gruß zurück
Jengo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Do 02.07.2015 | | Autor: | jengo32 |
Vielleicht könntet ihr einmal überprüfen, ob ich das richtig verstanden habe:
Geprüft werden soll auf das Konvergenzverhalten von
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}}
[/mm]
Dann könnte ich doch jetzt das Minorantenkriterium anwenden, da:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] > [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}
[/mm]
und da [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n} [/mm] divergiert, tut es auch
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}}
[/mm]
Würde so simpel meine Antwort in einer Klausur aussehen zu der Aufgabenstellung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Do 02.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Vielleicht könntet ihr einmal überprüfen, ob ich das
> richtig verstanden habe:
>
> Geprüft werden soll auf das Konvergenzverhalten von
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm]
>
> Dann könnte ich doch jetzt das Minorantenkriterium
> anwenden, da:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm] >
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}[/mm]
So kannst Du das nicht schreiben, sondern:
es gilt [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} \ge \bruch{1}{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm]
>
> und da [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}[/mm] divergiert, tut
> es auch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm]
>
> Würde so simpel meine Antwort in einer Klausur aussehen zu
> der Aufgabenstellung?
Ja, mit obiger Verbesserung.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Mi 01.07.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> > > Wie muss ich jetzt weiter verfahren um die Konvergenz zu
> > überprüfen?
> >
> > Es ist
> >
> > [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\ln(n+1)}{\ln(n+2)}\to 1[/mm] für
> > [mm]n\to\infty[/mm] (Warum?),
>
> Mir ist nicht klar, warum ich hier auf 1 komme. Kannst du
> mir das anschaulich verdeutlichen wie ich auf diesen Wert
> komme ? Sieht man das mit bloßem Auge und ich bin wieder
> nur zu blind ?
> >
> > also liefert das Quotienkriterium keine Aussage.
dass das QK keine Aussage liefert, ist nun geklärt. (Oder?) Für eine Aussage
über das Kgz.-Verhalten von
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\ln(n+1)}$
[/mm]
zu treffen, kannst Du auch Cauchys Verdichtungskriterium heranziehen:
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\ln(n+1)}=\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\ln(n)}$
[/mm]
hat das gleiche Kgz.-Verhalten wie
[mm] $\sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{\ln(2^n)}=\frac{1}{\ln(2)}*\sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{n}$
[/mm]
(Da offenbar [mm] $2^n/n \not\to [/mm] 0$, divergiert die letzte Reihe nach dem Trivialkriterium!)
Beachte: [mm] $(1/\ln(n))_{n=2}^\infty$ [/mm] ist (streng) monoton fallende Nullfolge!
Gruß,
Marcel
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