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Konvergenz uneigendliches I...: integral
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 So 15.04.2007
Autor: CPH

Aufgabe
Zeige die Konvergenz des uneigendlichen Integrals

[mm] \integral^{\infty}_{0}{sin(x^2) dx} [/mm]

tipp: [mm] sin(x^2)= [/mm] - [mm] \bruch{(cos x^2)'}{2x}; [/mm] erweitere mit x und integriere partiell.
(cos [mm] x^2)' [/mm] ableitung von cos [mm] x^2 [/mm]

Hallo,

Wie würdet ihr vorgehen?

Ich hab noch nie die Konvergenz eines uneigendlichen Integrals gezeigt.

MfG

Christoph

        
Bezug
Konvergenz uneigendliches I...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 So 15.04.2007
Autor: Volker2

Hallo,

zerlege den Integrationsbereich geeignet und nutze aus, dass eine monotone alternierende Reihe konvergiert (Leibniz Kriterium?). Das ist analog zur Konvergenz von [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}. [/mm]

Volker

Bezug
                
Bezug
Konvergenz uneigendliches I...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:40 Mo 16.04.2007
Autor: CPH

Hallo, Danke für die Antwort.

Was meinst du mit geeignet  in:

> Hallo,
>  
> zerlege den Integrationsbereich geeignet und nutze aus,
> dass eine monotone alternierende Reihe konvergiert (Leibniz
> Kriterium?). Das ist analog zur Konvergenz von
> [mm]$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}.[/mm]
>  
> Volker


wie kann man beim Integral eine Reihenkonvergenz ausnutzen?

MfG

Ch

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz uneigendliches I...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:28 Mo 16.04.2007
Autor: wauwau

also

[mm] \integral_{0}^{N}{sin(x^2) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{sin(x^2) dx}+\integral_{1}^{N}{sin(x^2) dx}\le 1+\integral_{1}^{N}{sin(x^2) dx}= [/mm]
[mm] 1+(-\bruch{cos(N^2)}{2N}+\bruch{cos(1)}{2}-\integral_{1}^{N}{\bruch{cos(x^2)}{2x^2} dx}) \le 1+\bruch{1}{2N}+\bruch{1}{2}+\integral_{1}^{N}{\bruch{1}{2x^2} dx}= \bruch{3}{2}+\bruch{1}{2N}-\bruch{1}{2N}+\bruch{1}{2}=2 [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz uneigendliches I...: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:08 Mi 18.04.2007
Autor: CPH

Danke, ich glaub jetzt hab ichs.

Bezug
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