Konvergenz und lim inf < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Liebe Matheraum Mitglieder,
ich sitze hier vor einer Aufgabe, die wohl ganz einfach sein muss (zumindest ist sie die erste von vier auf meinem Übungszettel), aber so oft ich mir das Ding auch anschaue: Ich komme damit nicht zu Rande. Vielleicht stehe ich ja gerade auf der Leitung, denn normalerweise fällt mir eigentlich immer (zumindest) ein Ansatz ein. Wer kann mir einen kleinen Tipp geben, wie ich mich der Aufgabe annähern kann?
Aufgabe:
Konvergiert die Reihe ak (ak Element der komplexen Zahlen, ak ungleich Null) so gilt: lim inf (k geht gegen unendlich) Betrag von ((ak+1) : (ak)) kleiner/gleich 1.
[marc: [mm] $\liminf\limits_{k\to\infty}\left|\bruch{a_{k+1}}{a_k}\right|\le [/mm] 1$]
Vielen lieben Dank für die Hilfe,
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:14 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Lieber Michael!
Ja, die Aufgabe ist in der Tat ziemlich einfach.
Wäre die Behauptung nicht wahr, so gäbe es ein $\varepsilon>0$, so dass für unendlich viele $n \in \IN$
(*) $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} > \liminf\limits_{k \to \infty} \left\vert \frac{a_{k+1}}{a_k} \right\vert - \varepsilon =:\Theta > 1$.
Nun sei $(\tilde{a}_n})_{n \in \IN}$ die Folge, die durch Fortlassen aller Folgenglieder $a_n$, die (*) nicht erfüllen, entsteht.
Dann zeigt man mit vollständiger Induktion nach $n$:
$|\tilde{a}_{n+1}| > |\tilde{a}_0| \cdot \Theta^n$.
Daraus folgt unmittelbar die Behauptung, da für $\Theta>1$ die Reihe
$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \Theta^n$
divergiert. Wenn aber schon eine Teilreihe von
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n$
divergiert, dann aber erst recht die ganze Reihe.
Liebe Grüße
Stefan
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Guten Abend!
Da hat also noch jemand das selbe Blatt wie ich...! Was mich jetzt allerdings etwas verwirrt ist der b-Teil der Aufgabe:
Man berechen mit Hilfe des Quotientenkriteriums und Teil (a) den Konvergenzradius der Reihe [mm] (n^n*z^n) [/mm] : n! und zeige limes (n gegen unendlich) n:n!^1/n=e
Für den ersten Teil der b habe ich r=1 rausbekommen (hoffe, das stimmt), aber für den Rest der b habe ich keine so richtige Idee, ich weiß nur (klar) 1:n!=e.
Wer hat da eine Idee?
Grüße,
eine Anfängerin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Uni-Anfängerin!
> Man berechen mit Hilfe des Quotientenkriteriums und Teil
> (a) den Konvergenzradius der Reihe [mm](n^n*z^n)[/mm] : n! und zeige
> limes (n gegen unendlich) n:n!^1/n=e
Wie ist das letzte zu lesen. Schreibe es bitte eindeutig auf und benutze dabei unsere Formelhilfe. Informationen und Hilfen, wie man diese anwendet, findest hier hier: www.matheraum.de/mm
> Für den ersten Teil der b habe ich r=1 rausbekommen (hoffe,
> das stimmt),
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber für den Rest der b habe ich keine so
> richtige Idee, ich weiß nur (klar) 1:n!=e.
Du meinst:
[mm] $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} [/mm] = e$ !!
Muss denn oben auch ein Summenzeichen hin? Bitte schreibe deine Frage noch einmal neu auf, diesmal aber mit eindeutigen Formeln.
Liebe Grüße
Stefan
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