Konvergenz und Reihenwert < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (c) Man zeige, dass die Reihen
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{2}}{(1+x^{2})^{n}}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{x^{2}+n}
[/mm]
für alle [mm] x\in [/mm] R konvergieren. Im ersten Fall gebe man den Reihenwert für jedes [mm] x\in [/mm] R an. Weiter untersuche man die Reihen auf absolute und gleichmäßige Konvergenz in R. Sind die Grenzfunktionen stetig? |
Leider sind es mehrere Aufgaben in einer und mir ist auch fraglich, wieso man zuerst Konvergenz und dann absolute Konvergenz untersuchen soll ö.O. Angefangen mit der absoluten Konvergenz habe ich über den Satz von Weierstrauß versucht dies zu untersuchen.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}|g_{n}(x)| [/mm] muss konvergent sein für alle [mm] x\in [/mm] R
[mm] |g_{n}(x)|\le||g_{n}||
[/mm]
Bei der ersten Reihe war ich mir nicht ganz sicher, aber ich habe für x=1 folgendes erhalten: [mm] |g_{n}(x)|\le|\bruch{1}{2^{n}}| [/mm] Das dies eine geometrische Reihe ist mit einem Grenzwert von 1 habe ich daraus Divergenz geschlossen.
zur zweiten Reihe: [mm] |\bruch{(-1]^{n}}{x^{2}+n}|=|\bruch{1}{x^{2}+n}|\le|\bruch{1}{n}| [/mm] harmonische Reihe, also ebenfalls divergent.
Stimmen soweit meine Schlüsse oder vollkommen falscher Weg? ^^
Die Sache mit dem Reihenwert macht mir auch noch Schwierigkeiten. Für Reihen mit einer Variablen sollte es kein Problem sein, aber bei zwei verschiedenen, weiß ich nicht, wie ich rechnen soll. Beim Recherchieren fand ich auch nur welche mit einer.
Die erste Reihe hat einen Wert von 0 für x=0 bzw [mm] x\to\infty, [/mm] aber für x=1 einen Wert von 1.
Ich bin wahrscheinlich auf dem Holzweg und mindestenz eine von beiden ist gleichmäßig konvergent ^^
Bin jetzt schon für jede Antwort dankbar =)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Mo 01.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine erste Reihe hat kein n. also ist sie immer divergent, da die Summe aus unendlich vielen gleichen Summanden besteht?
2. was soll $ [mm] |g_{n}(x)|\le||g_{n}|| [/mm] $ bedeuten? welche Norm meinst du rechts?
Falls der Ausdruck hoch n da stehen sollte, was dein Wert für x=1 suggeriert, konvergiert doch ne geom. Reihe für q<1?
zweite Reihe untersuchst du da nur absolute konv? sonst ists doch für alle x ne Leibnizreihe?
Wo sind da 2 Variablen irgendwo? ich versteh Bahnhof ich seh nur x!
Gruss leduart
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Crashkurs |
Hab die Aufgabe eben editiert. Nun ist das n wieder drin...
Zur zweiten Anmerkung: dies fand ich in der Definition bzw in einer der angewendeten Beispiele. [mm] g_{n}(x) [/mm] ist die Grenzfunktion von [mm] f_{n}(x) [/mm] (also der Reihe) und [mm] ||g_{n}||=sup\{g_{n}(x) | x\in R\}. [/mm]
Die geometrische Reihe habe ich also als Majorante von [mm] g_{n}(x). [/mm] Dass für q<1 sie konvergiert ist ja klar, aber sie soll es doch für alle [mm] x\in [/mm] R. Kann ich also sie eingeschränkt als konvergent zeigen oder reicht sie als nicht konvergent zu zeigen, wenn es nicht für alle [mm] x\inR [/mm] der Fall ist? (Gegenbeispiel)
Scheinbar sollen wir beide Konvergenzen untersuchen. Wären sie absolut konvergent, hätte man sich eine Untersuchung sparen können. Aber danke für den Hinweis wegen der Leibnizreihe.
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Ich bin jetzt soweit, dass die erste Reihe nach dem Quotientenkriterium konvergent für [mm] x\not=0 [/mm] ist.
[mm] \summe_{n=1}^{\infinity}\bruch{x^{2}}{(1+x^{2})^{n}}
[/mm]
[mm] \alpha=\limes_{n\rightarrow\infty}|(\bruch{x^{2}}{(1+x^{2})^{n+1}}\*\bruch{(1+x^{2})^{n}}{x^{2}})|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{1}{1+x^{2}}|\le1 \Rightarrow [/mm] Konvergenz für [mm] x\not=0
[/mm]
Da nach Konvergenz auf ganz [mm] \IR [/mm] gefragt wird, kann ich mir absolute und gleichmäßige doch nun sparen, oder nicht?
Naja den Reihenwert weiß ich aber nicht zu bestimmen, wie ich schon anfangs geschrieben habe.
Die zweite ist nach dem Leibniz-Kriterium konvergent. Aber nicht absolut konvergent, da der Betrag der Reihe divergiert. Die gleichmäßige Konvergenz ist definiert als: [mm] \forall x\in\IR\forall\varepsilon>0 \exists N\in\IN: |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon
[/mm]
[mm] f_{n}(x) [/mm] ist die Reihe und f(x) die Grenzfunktion. Ich glaube, hier komm ich wieder an das Problem der Reihe und dem Grenzwert...
Achja das mit der Majoranten habe ich wieder verworfen, da dies nur für absolute Konvergenz gilt.
Hoffe auf ein paar Hilfen =)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Do 04.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zieh aus der ersten Reihe [mm] x^2 [/mm] das ja nicht von n abhängt raus, dann bleibt [mm] (1/(1+x^2)^n
[/mm]
es ist [mm] (1/(1+x^2)<1 [/mm] für alle [mm] x\ne0 [/mm] (für x=0 ist die Gesamtsumme 0 wegen des Faktors [mm] x^2)
[/mm]
also geom reihe mit q=t [mm] (1/(1+x^2)
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Do 04.02.2010 | | Autor: | Crashkurs |
Also woher q und t kommen oder wozu ich die dann noch brauche weiß ich grad nicht. Aber der Wert einer geometrischen Reihe ist 1 und damit habe ich argumentiert in meiner Lösung. =)
Vielen Dank für die Hilfe ^.^
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