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| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
(a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-3)^{k}}{k^{10}}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(1-\bruch{1}{k})^{k}
[/mm]
(c) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1+2k}{1+k^{2}}
[/mm]
(d) [mm] \summe_{k=1}^{0}\bruch{cos(k\pi)}{1+k}
[/mm]
(e) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1+3k^{4}}{2+8k^{7}} [/mm] |
Was ist überhaupt Konvergenz?
Wie geht man an solche Aufgaben heran?
Wäre nicht schlecht eine mal mit ausführlicher Lösung^^
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> Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
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> (a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-3)^{k}}{k^{10}}[/mm]
> Was ist überhaupt Konvergenz?
Dazu zitiere ich den ersten Satz des ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia Artikels Grenzwert_(Folge):
Eine Folge kann in der Mathematik die Eigenschaft haben, sich mit wachsendem Index immer mehr einer bestimmten Zahl anzunähern. Diese Zahl nennt man Grenzwert oder Limes der Folge. Besitzt eine Folge solch einen Grenzwert, so wird sie konvergent, andernfalls divergent genannt.
> Wie geht man an solche Aufgaben heran?
Die Aufgaben von dir beschäftigen sich mit Reihen. Für Reihen gibt es bestimmte Konvergenzkriterien
> Wäre nicht schlecht eine mal mit ausführlicher Lösung
Das ist immer noch deine Aufgabe. Aber picken wir uns die erste Teilaufgabe heraus:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-3)^{k}}{k^{10}} [/mm] schaut aus als wenn man das schön mit dem Wurzelkriterium lösen könnten.
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \sqrt[k]{\left|\bruch{(-3)^{k}}{k^{10}}\right|} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \sqrt[k]{\bruch{(3)^{k}}{k^{10}}} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{3}{\sqrt[k]{k^{10}}} [/mm] = [mm] \frac{3}{1}
[/mm]
Aber vorher müsstet ihr gezeigt haben das [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \frac{1}{\sqrt[k]{k}} [/mm] = 1 bzw. [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \frac{1}{\sqrt[k]{k^{10}}} [/mm] = 1
Machen wir nun weiter es kam also 3 heraus, wir schauen beim Wurzelkriterium nach und sehen das 3 > 1 daraus folgt also diese Reihe ist divergent also nicht konvergent. Nun hangel dich mit den anderen Kriterien durch den Rest der Reihen. Wurzelkriterium ist meistens gut bei Potenzen, Quotientenkriterium bei Fakultäten, Leibniz für alternierende Reihen und Majoranten und Minorantenkriterium für alles was sich nicht mit dem vorherigen Kriterien erledigen lässt.
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aber wie kannst du kommst du auf die k-te Wurzel aus dem ganzen. man kann doch nicht einfach das k heraus nehmen. könntest du den schritt näher erklären?
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \sqrt[k]{\left|\bruch{(-3)^{k}}{k^{10}}\right|}[/mm]
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Hallo,
> aber wie kannst du kommst du auf die k-te Wurzel aus dem
> ganzen.
Nun, das steht wunderbar in dem obigen Wiki-Link.
Hast du den nicht gelesen??
Hier wird das Wurzelkriterium angewendet.
Gegeben eine Reihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k$ [/mm] ist gem. diesem Kriterium zu berechnen [mm] $\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}$
[/mm]
Nun hast du die Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-3)^k}{k^{10}}$, [/mm] also [mm] $a_k=\frac{(-3)^k}{k^{10}}$
[/mm]
Also ist zu berechnen [mm] $\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|\frac{(-3)^k}{k^{10}}\right|}$
[/mm]
> man kann doch nicht einfach das k heraus nehmen.
> könntest du den schritt näher erklären?
Das ist elementares Rechnen der 9.Klasse (oder früher)
Es ist doch [mm] $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
[/mm]
Und [mm] $\sqrt[k]{a^k}=\left(a^k\right)^{\frac{1}{k}}=a^{k\cdot{}\frac{1}{k}}=a^1=a$
[/mm]
Schaue dir dringend die Potenz- und Wurzelgesetze an ...
Wenn solche elementarsten Rechnungen nicht sitzen, wird's schwer ...
Gruß
schachuzipus
>
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \sqrt[k]{\left|\bruch{(-3)^{k}}{k^{10}}\right|}[/mm]
Hier weiter ... [mm] $=\limsup\limits_{k\to\infty}\frac{\sqrt[k]{\left|(-3)^k\right|}}{\sqrt[k]{\left|k^{10}\right|}}$
[/mm]
[mm] $=\limsup\limits_{k\to\infty}\frac{\sqrt[k]{3^k}}{\sqrt[k]{k^{10}}}=\limsup\limits_{k\to\infty}\frac{3}{\sqrt[k]{k^{10}}}$
[/mm]
[mm] =3\cdot{}\limsup\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[k]{k^{10}}}$
[/mm]
Wie geht's nun weiter?
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo monstre!
Fertige Lösungen gibt es hier nicht. Wir sind schließlich keine Aufgabenlösungsmaschine.
> (b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(1-\bruch{1}{k})^{k}[/mm]
Hier solltest Du Dir mal über das notwendige Kriterium der Reihenkonvergenz Gedanken machen.
Ist [mm] $\left(1-\bruch{1}{k}\right)^k$ [/mm] eine Nullfolge? Denn nur wenn der Term hinter dem Summenzeichen eine Nullfolge ist, kann evtl. Reihenkonvergenz auftreten.
Also: [mm] $a_k$ [/mm] keine Nullfolge [mm] $\Rightarrow$ $\summe a_k$ [/mm] divergent
Gruß
Loddar
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