Konvergenz und Grenzwerte von < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:01 Mi 29.10.2008 | | Autor: | dadario |
| Aufgabe | Untersuchen sie folgende Reihe auf Konvergenz und geben sie gegebenenfalls den Grenzwert an.
1.) [mm] \summe_{i=0}^{n} \bruch{3^{k}+(-2)^{k}}{6^{k}}
[/mm]
mit n = [mm] \infty
[/mm]
2.) [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{3^{k}}{2^{k}(k² +1)}
[/mm]
n = [mm] \infty [/mm] |
Also ich hab irgendwie immernoch große Probleme mit Konvergenz und Grenzwerten und weiß irgendwie nie so wirklich wie ich vorgehen würde.
bei der ersten aufgabe hab ich mal an das Wurzelkriterium gedacht und einfach mal angewand. da bekam ich dann [mm] \bruch{1}{6} [/mm] raus.
Ich weiß allerdings nicht ob es noch eine andere Möglichkeit gäbe die aufgabe zu lösen bzw. ob ich es überhaupt richtig gemacht habe mit dem Wurzelkriterium. letztenendes hab ich dadurch ja einfach die k's weggekürzt. aber geht das überhaupt??
bei der zweiten aufgabe kam ich dann aber gar nicht weiter. hab erst versucht es umzustellen kam da aber auch auf keinen nenner.. welche möglichkeit hab ich die aufgabe zu lösen? bzw kann ich die summe auch einfach auch aufteilen? so das ich zwei summen hab, da die grenzwerte berechne und dann zusammenrechne??
steh da grad irgendwie auf dem schlauch und würde mich über hilfe sehr freuen. Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo dadario!
Wie hast Du das denn mit dem Wurzelkriterium berechnet? Dafür musst Du die Reihe zunächst zerlegen (und erhältst zwei geometrische Reihen):
[mm] $$\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3^{k}+(-2)^{k}}{6^{k}} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\left[\bruch{3^{k}}{6^{k}}+\bruch{(-2)^{k}}{6^{k}}\right] [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{3}{6}\right)^k+\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{-2}{6}\right)^k [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Mi 29.10.2008 | | Autor: | dadario |
oh ich habe einfach die [mm] \wurzel[n]{a_{n}} [/mm] genommen
also: [mm] \wurzel[n]{\bruch{3^{k}+(-2)^{k}}{6^{k}}} [/mm] daraus folgte dann bei mir [mm] \bruch{3-2}{6} [/mm] = 1/6
kann ich das wurzelkriterium da so überhaupt anwenden?? oder würde das gar nicht gehen so im gesammten??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Mi 29.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> oh ich habe einfach die [mm]\wurzel[n]{a_{n}}[/mm] genommen
>
> also: [mm]\wurzel[n]{\bruch{3^{k}+(-2)^{k}}{6^{k}}}[/mm] daraus
> folgte dann bei mir [mm]\bruch{3-2}{6}[/mm] = 1/6
Mein lieber Herr Gesangsverein !!
ist das
[mm] \wurzel[n]{a+b}=\wurzel[n]{a}+\wurzel[n]{b}
[/mm]
wirklich Dein Ernst ?
FRED
>
> kann ich das wurzelkriterium da so überhaupt anwenden??
> oder würde das gar nicht gehen so im gesammten??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Mi 29.10.2008 | | Autor: | dadario |
ich habe die erste aufgabe jetzt mal mit den geometrischen reihen weiter gerechnet und bekomme dann als grenzwert 3 raus. stimmt das ?
bin so vorgegangen:
[mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] ( [mm] \bruch{3}{6})^k [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] ( [mm] \bruch{-2}{6})^k
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{1- (\bruch{3}{6})} +\bruch{1}{\1- bruch{-2}{6}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{1}- \bruch{6}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1}+\bruch{6}{2}
[/mm]
= [mm] -\bruch{2}{2}+ \bruch{8}{2} [/mm] = [mm] \bruch{6}{2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{1} [/mm] = 3
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Hallo dadario!
Du solltest Dir auf jeden Fall die Regeln der Bruchrechnung ansehen. Deine Umformungen sind grauenvoll!
Der Ansatz an sich ist okay. Allerdings muss es heißen:
$$... \ = \ [mm] \bruch{1}{1-\bruch{3}{6}}+\bruch{1}{1-\left(-\bruch{2}{6}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{1 \ \red{+} \ \bruch{1}{3}} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Mi 29.10.2008 | | Autor: | dadario |
ok.
ich habe jetzt erstmal die nenner zusammengerechnet und dann
[mm] \bruch{1}{\bruch{1}{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\bruch{4}{3}} [/mm] erhalten.
wenn ich das dann alles ausrechne bekomme ich [mm] \bruch{11}{4} [/mm] ist das denn dann richtig??
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Hallo dadario!
So stimmt es ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Mi 29.10.2008 | | Autor: | dadario |
sehr gut danke,
dann hab ich das wenigstens schonmal verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 Mi 29.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> sehr gut danke,
> dann hab ich das wenigstens schonmal verstanden.
Die Regeln des Wurzelziehens auch ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 Mi 29.10.2008 | | Autor: | dadario |
ja auch die;) ich hab sie mir auch direkt nochmal alle aufgeschrieben und werd mich nochmal näher damit befassen
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> 2.) [mm]\summe_{i=k}^{\infty} \bruch{3^{k}}{2^{k}(k² +1)}[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Auch an diese Reihe würde ich erstmal mit den Konvergenzkriterien herangehen.
Hast Du's Quotientenkriterium schonmal versucht?
(Manchmal lohnt auch ein Blick darauf, ob in [mm] \summe a_k [/mm] die Folge überhaupt gegen 0 konvergiert.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Mi 29.10.2008 | | Autor: | dadario |
kann es sein das dann [mm] \bruch{3}{2} [/mm] als grenzwert rauskommt wenn ich es mit dem quotientenK. mache??
bin mir grad nicht sicher ob ich das alles so wegkürzen durfte
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> kann es sein das dann [mm]\bruch{3}{2}[/mm] als grenzwert rauskommt
> wenn ich es mit dem quotientenK. mache??
Hallo,
kann sein.
> bin mir grad nicht sicher ob ich das alles so wegkürzen
> durfte
In diesem Falle wäre es die Strategie der Wahl, den Rechengang hier mal zu posten.
Gruß v. Angela
P.S.: Bei mir kam übrigens auch [mm] \bruch{3}{2} [/mm] heraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Mi 29.10.2008 | | Autor: | dadario |
ich hab das QuotientenK. angewand also:
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] | = [mm] \bruch{3^(k+1)}{2^(k+1) ((k+1)^2 +1)}* \bruch{2^k ( k^2 +1}{3^k}
[/mm]
habe daraus dann die k+1 mit den k's weggekürzt und des [mm] (k+1)^2 [/mm] mal ausgeklammert und damit den rest weggekürzt. damit blieb dann bei mir nur [mm] \bruch{3}{2} [/mm] über
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Hallo dadario!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und was heißt das nun zur Konvergenz / Divergenz der Reihe?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:48 Mi 29.10.2008 | | Autor: | dadario |
dann ist die reihe divergent, da 3/2 größer ist wie 1. und laut dem quotientenk. ist sie nur konvergent wenn sie kleiner ist wie 1.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo dadario!
Gruß vom
Roadrunner
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