Konvergenz und Grenzwerte < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Mi 18.10.2006 | | Autor: | BWLDino |
| Aufgabe | | [mm] a_n=\wurzel{4n²+n}-2n [/mm] |
Wir Prüfe ich diese Folge auf Konvergenz und wie berechne ich ggf. den Grenzwert?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo BWLDino,
den Grenzwert kann man wie folgt berechnen:
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{4n^2+n}-2n = \lim_{n\rightarrow\infty} \bruch{(\sqrt{4n^2+n}-2n)(\sqrt{4n^2+n}+2n)}{\sqrt{4n^2+n}+2n} = \lim_{n\rightarrow\infty} \bruch{4n^2+n-4n^2}{\sqrt{4n^2+n}+2n} = \bruch{n}{n (\sqrt{4+\bruch{1}{n}} +2)} = \lim_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\sqrt{4+\bruch{1}{n}}+2} = \bruch{1}{4} [/mm]
Dabei nutzen wir die 3. binomische Formel [mm] (a+b)(a-b) = a^2-b^2 [/mm]. Im letzten Schritt nutzen wir, dass [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} = 0 [/mm].
Mit freundlichen Grüßen,
Manuela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mi 18.10.2006 | | Autor: | BWLDino |
Hallo Manuela,
erst einmal danke für deine schnelle Antwort, aber eine kleine Frage habe ich noch und zwar beim vorletzten Schritt, hast du ja n ausgeklammer, allerdings verstehe ich nicht wie du dann von 4n² auf 4 kommst, müssten es nicht 4n sein?
MfG
BWLDino
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Mi 18.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> erst einmal danke für deine schnelle Antwort, aber eine
> kleine Frage habe ich noch und zwar beim vorletzten
> Schritt, hast du ja n ausgeklammer, allerdings verstehe ich
> nicht wie du dann von 4n² auf 4 kommst, müssten es nicht 4n
> sein?
nein, denn das n vor der Wurzel stand ja vorher unter der Wurzel und ist damit [mm] n^2 [/mm] . Manuela hat [mm] n^2 [/mm] ausgeklammert, daher auch [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
alles klar?
Liebe Grüße
Herby
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