Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Fr 06.05.2011 | | Autor: | Parkan |
| Aufgabe | Gegeben
[mm]\summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{1}{3})^i[/mm]
Konvergiert diese Reihe? Falls ja gegen welchen Grenzwert? |
Hallo
Hier weis ich nicht ob ich nur [mm]\bruch{1}{3}^i[/mm] betrachten soll oder das Summenzeichen auch? Ich würde sagen die Reihe konvergiert gegen den Grenzwert 0. Weil 0.333 hoch i. Bin mir aber nicht sicher evt ist es auch 1.5 ^^
Welches ist richtig?
Danke
Janina
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> Gegeben
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{1}{3})^i[/mm]
> Konvergiert diese
> Reihe? Falls ja gegen welchen Grenzwert?
>
> Hallo
> Hier weis ich nicht ob ich nur [mm]\bruch{1}{3}^i[/mm] betrachten
> soll oder das Summenzeichen auch?
Hallo,
Du mußt (natürlich) das Summenzeichen in Deine Betrachtungen einbeziehen, sonst stünde es ja nicht da.
Es geht darum, daß Du den Grenzwert von [mm] $\summe_{i=0}^{n} (\bruch{1}{3})^i$ [/mm] für [mm] n\to \infty [/mm] sagen sollst.
Eine Reihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_i [/mm] kann überhaupt nur konvergieren, wenn die zugrunde liegend Folge [mm] a_i [/mm] eine Nullfolge ist.
> Ich würde sagen die
> Reihe konvergiert gegen den Grenzwert 0. Weil 0.333 hoch i.
Eine Meisterleistung der Formulierungskunst...
Wenn ich das mal übersetze: Du stellst hier völlig richtig fest, daß die der Reihe [mm] $\summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{1}{3})^i$ [/mm] zugrundeliegende Folge [mm] $(\bruch{1}{3})^i$ [/mm] gegen 0 konvergiert.
Das bedeutet: es könnte sein, daß die Reihe konvergiert.
> Bin mir aber nicht sicher evt ist es auch 1.5 ^^
Aha. Und wie bist Du darauf gekommen?
Worum es in dieser Aufgabe eigentlich geht und was Du bringen sollst, ist dies:
Du hast hier eine wohlbekannte Reihe vorliegen, eine unendliche geometrische Reihe.
(Wie sind solche Reihen gemacht?)
Wann konvergiert eine geometrische Reihe?
Ist dies hier der Fall?
Wie lautet im Falle der Konvergenz der Grenzwert?
>
> Welches ist richtig?
Das zweite.
Gruß v. Angela
>
> Danke
> Janina
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Fr 06.05.2011 | | Autor: | Parkan |
Habe ich das jetzt richtig vertsnaden, das man die Konvergenz einer Folge von der, der Reihe unterscheiden muss? Falls die Folge gegen 0 konvergiert heisst es nur das die Reihe auch konvergiert. Den Grenzwert muss man aber erst noch bestimmen?
Dann ist 1.5 richtig. Oder?
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Ist die Folge eine Nullfolge, kann die entsprechende Reihe konvergieren (muss aber nicht).
