Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei r [mm] \in R_{>0} [/mm] und die Folge [mm] {a_n } n\in [/mm] N sei gegeben durch
[mm] a_{n + 1} [/mm] = [mm] \bruch{(a_n)^2}{2r} [/mm] + [mm] \bruch{r}{2} [/mm] , [mm] a_1 [/mm] = 0
Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert. |
Hi,
ich bin so vorgegangen:
[mm] a_{n +1} [/mm] = [mm] \bruch{(a_n)^2}{2r} [/mm] + [mm] \bruch{r}{2} [/mm] = [mm] a_n (\bruch{a_n}{2r} [/mm] + [mm] \bruch{r}{a_n 2} [/mm] ) > [mm] a_n [/mm] , hier hab ich schon das Problem das es für [mm] a_1 [/mm] nicht gilt weil, ich nicht durch Null teilen darf...
Ich gehe davon aus, dass ich das Monotoniekriterium erfüllt habt, und daraus schließe dass die Folge konvergiert.
a = lim [mm] a_n [/mm] <=> a= [mm] \bruch{(a)^2}{2r} [/mm] + [mm] \bruch{r}{2} [/mm] <=> 0 = [mm] a^2 [/mm] - 2ra + [mm] r^2
[/mm]
=> [mm] a_{1,2} [/mm] = r [mm] \pm \wurzel{r^2 - r^2 } [/mm] = r
=> lim [mm] a_n [/mm] = r mit 0 [mm] \le a_n \le [/mm] r [mm] \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] N
also bei der Beschränkung der Folge brauche ich noch einen Tipp..
Gruß Sanfu
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Hallo,
schreib' dir doch mal die ersten paar Glieder beginnend bei $\ [mm] a_0 [/mm] $ auf.
Dann kannst du schonmal die Vermutung aufstellen, ob die Folge monoton wächst/fällt oder garnicht monoton ist.
Beweise die Vermutung mittels vollst. Induktion über $\ n $.
Ist die Reihe monoton und beschränkt, konvergiert sie. Die Beschränktheit kannst du ebenfalls über die vollst. Induktion zeigen.
Der Grenzwert ist $\ [mm] \lim \sup a_n [/mm] = a = [mm] \lim \sup a_{n+1} [/mm] $
Hilft dir das?
Grüße
ChopSuey
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Hi,
wie zeige ich denn die Monotonie induktiv? Soll ich in der Voraussetzung [mm] a_{n+1} \le a_n [/mm] zeigen und im Schritt dann? [mm] a_{n+2} \le a_{n+1} [/mm] ?
Snafu
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Hallo Snafu,
> Hi,
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> wie zeige ich denn die Monotonie induktiv? Soll ich in der
> Voraussetzung [mm]a_{n+1} \le a_n[/mm] zeigen und im Schritt dann?
> [mm]a_{n+2} \le a_{n+1}[/mm] ?
Mach's ohne Induktion:
Es ist doch [mm] $a_{n+1}\le (\ge) [/mm] \ [mm] a_n$ [/mm] äquivalent zu [mm] $a_{n+1}-a_n\le (\ge) [/mm] \ 0$
Schaue dir also mal [mm] $a_{n+1}-a_n$ [/mm] an
Das ist [mm] $=\frac{a_n^2}{2r}+\frac{r}{2}-a_n$
[/mm]
Rechne mal daran rum ...
Ist das [mm] $\ge [/mm] 0$, [mm] $(a_n)$ [/mm] also monoton steigend oder doch eher [mm] $\le [/mm] 0$ und [mm] $(a_n)$ [/mm] monoton fallend?
>
> Snafu
Gruß
schachuzipus
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Hi,
mein Problem ist egal die ich die Gleichung [mm] a_{n + 1} [/mm] - [mm] a_n [/mm] umstelle, ich kann nie im Sicherheit sagen, dass der ganze Term [mm] \le [/mm] oder [mm] \ge [/mm] 0 ist, weil ich nicht weiß wie [mm] a_n [/mm] und r im Größenverhältnis zu einander sind.
Snafu
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Hallo nochmal,
> Hi,
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> mein Problem ist egal die ich die Gleichung [mm]a_{n + 1}[/mm] - [mm]a_n[/mm]
> umstelle, ich kann nie im Sicherheit sagen, dass der ganze
> Term [mm]\le[/mm] oder [mm]\ge[/mm] 0 ist, weil ich nicht weiß wie [mm]a_n[/mm] und r
> im Größenverhältnis zu einander sind.
Ich glaube, du hast dir das nichtmal hingeschrieben:
Es ist [mm] $a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2}{2r}+\frac{r}{2}-a_n$ [/mm] nach Definition [mm] $a_{n+1}$
[/mm]
Nun gleichnamig machen:
[mm] $=\frac{a_n^2+r^2-2ra_n}{2r}=\frac{(a_n-r)^2}{2r}$
[/mm]
Und du weißt: $r>0$ nach Voraussetzung.
Was kannst du nun über [mm] $a_{n+1}-a_n$ [/mm] aussagen?
>
> Snafu
Gruß
schachuzipus
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Oh nein,
so simpel...das ist mir grad wirklich bisschen peinlich....
so nun weiß ich das [mm] a_{n+1} \ge a_n [/mm] , d.h. die Folge ist monoton steigend.
Nun fehlt mir nur noch die Beschränktheit für die Konvergenz. Die will ich induktiv zeigen.
Ich nehme an, dass 0 [mm] \le a_n \le [/mm] r [mm] \forall n\in [/mm] N gilt.
z.z. [mm] 0\le a_{n+1} \le [/mm] r gilt. Den Teil mit [mm] 0\le a_{n+1} [/mm] schaff ich aber
[mm] a_{n+1} \le [/mm] r macht mir Probleme.
Snafu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Di 27.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SnafuBernd!
Warum zeigst Du uns nie, wie Du anfängst und was Du rechnest?
Beginne doch einfach mal ...
Im Induktionsschritt ist also zu zeigen:
[mm] $$a_{n+1} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ r$$
[mm] $$\bruch{a_n^2}{2r}+\bruch{r}{2} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ r$$
[mm] $$\bruch{a_n^2}{2r}-\bruch{r}{2} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 0$$
Nun die Ungleichung mit $2r \ > \ 0$ multiplizieren und anschließend an die 3. binomische Formel denken!
Gruß
Loddar
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Hi,
ja war in letzter Zeit bisschen faul. Sry
Habs jetzt etwas simpler gelöst, falls es so stimmt.
Induktionsanfang lass ich mal sein.
IV: 0 [mm] \le a_n \le [/mm] r
IS: [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{(a_n)^2}{2r} [/mm] + [mm] \bruch{r}{2} \ge [/mm] 0 , da beide Summanden posetiv sind.
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{(a_n)^2}{2r} [/mm] + [mm] \bruch{r}{2} [/mm] = [mm] \bruch{(a_n)^2 +r^2}{2r} [/mm] => wegen [mm] a_n \le [/mm] r => [mm] \bruch{(a_n)^2 +r^2}{2r} \le \bruch{ 2r^2}{2r} [/mm] = r
Passt das so?
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Di 27.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SnafuBernd!
Ja, so kann man das auch lösen. Nur etwas ausführlicher hinschreiben bzw. genauer hinschreiben, wann man die Induktionsvoraussetzung verwendet.
Gruß
Loddar
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