Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Mo 10.12.2007 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_n) [/mm] sei durch [mm] a_1=3 [/mm] und [mm] a_{n+1}=\wurzel{a_n+12} [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 1 gegeben. Zeige, dass [mm] (a_n) [/mm] konvergiert und bestimme den Grenzwert.
Tip. Für die Konvergenz zeige [mm] man:(a_n) [/mm] ist monoton wachsend mit [mm] a_n\le4 [/mm] |
Hallo!
Versuche mich gerade an der obigen Aufgabe und habe Schwierigkeiten.
Erstmal ein paar Folgenglieder aufgeschrieben:
[mm] a_1=3
[/mm]
[mm] a_2=\wurzel{15}
[/mm]
[mm] a_3=\wurzel{27}
[/mm]
[mm] a_4=\wurzel{39}
[/mm]
[mm] a_5=\wurzel{51}
[/mm]
man sieht also, dass [mm] a_1
Daher müssen wir jetzt nur noch die monoton wachsende Eigenschaft beweisen.
Also [mm] a_n
[mm] a_{n+1}=\wurzel{a_n+12}>\wurzel{a_{n+1}+12}=a_n
[/mm]
[mm] a_n+12>a_{n+1}+12
[/mm]
[mm] a_n>a_{n+1}
[/mm]
Naja da steh ich jetzt genauso da wie vorher...
Ich nehme mal an, hier steckt nen Fehler drin.
Kann da jemand weiterhelfen? Und wie komme ich dann auf den Grenzwert?
Danke!
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:59 Di 11.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo ONeill!
Bei der Berechnung der weiteren Folgenglieder hast Du dich vertan:
[mm] $$a_1 [/mm] \ = \ 3$$
[mm] $$a_2 [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{3+12} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{15} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 3.873$$
[mm] $$a_3 [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\wurzel{15}+12} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 3.984$$
Für die Beschränktheit [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 4$ brauchst Du vollständige Induktion:
[mm] $$a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\red{a_n}+12} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \wurzel{\red{4}+12} [/mm] \ = \ ...$$
Wenn Du nun sowwohl Monotonie als auch Beschränktheit gezeigt hast, folgt daraus unmittelbar die Konvergenz. Den Grenzwert kannst Du dann über folgenden Ansatz ermitteln:
$$a \ := \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Di 11.12.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo Loddar und vielen Dank für deine Antwort!
> Bei der Berechnung der weiteren Folgenglieder hast Du dich
> vertan:
> [mm]a_1 \ = \ 3[/mm]
> [mm]a_2 \ = \ \wurzel{3+12} \ = \ \wurzel{15} \ \approx \ 3.873[/mm]
>
> [mm]a_3 \ = \ \wurzel{\wurzel{15}+12} \ \approx \ 3.984[/mm]
Ok Fehler erkannt und verstanden.
> Für die Beschränktheit [mm]a_n \ \le \ 4[/mm] brauchst Du
> vollständige Induktion:
Beschränktheit ist das gleiche wie Konvergenz?
Also durch die Folgeglieder hast du einfach mal so "geraten" (beziehungsweise aus dem Tipp entnommen), dass die Folge gegen vier konvergiert, ok soweit auch verstanden.
> [mm]a_{n+1} \ = \ \wurzel{\red{a_n}+12} \ \le \ \wurzel{\red{4}+12} \ = \ ...[/mm]
Wie kommst du nun hier drauf, auf der rechten Seite 4 einzusetzen. Gehst du hier etwa "rückwärts" vor? Also du rätst, dass das gilt und weist es dann nach??
Dann kann man ja quadrieren und erhält direkt [mm] a_n \le [/mm] 4 und damit ist die Beschränktheit bewiesen?
> Wenn Du nun sowwohl Monotonie als auch Beschränktheit
> gezeigt hast, folgt daraus unmittelbar die Konvergenz.
Ok und die Monotonie weise ich nun so nach:
[mm] a_n\lea_{n+1}\lea_{n+2}
[/mm]
[mm] \wurzel{a_n+12}\le \wurzel{\wurzel{a_n+12}+12}
[/mm]
[mm] a_n+^2\le\wurzel{a_n+12}+12
[/mm]
[mm] a_n\le\wurzel{a_n+12}
[/mm]
Ist das so richtig?
> Den
> Grenzwert kannst Du dann über folgenden Ansatz ermitteln:
>
> [mm]a \ := \ \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}[/mm]
>
> Gruß
> Loddar
>
Danke!
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Mi 12.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo ONeill!
> > Für die Beschränktheit [mm]a_n \ \le \ 4[/mm] brauchst Du
> > vollständige Induktion:
> Beschränktheit ist das gleiche wie Konvergenz?
Nein, aber zusammen mit der Monotonie folgt die Konvergenz. Deswegen beweist du zunächst die Beschränktheit.
> Also durch die Folgeglieder hast du einfach mal so
> "geraten" (beziehungsweise aus dem Tipp entnommen), dass
> die Folge gegen vier konvergiert, ok soweit auch
> verstanden.
Eigentlich hat Loddar den Grnezwert ausgerechnet (siehe unten).
> > [mm]a_{n+1} \ = \ \wurzel{\red{a_n}+12} \ \le \ \wurzel{\red{4}+12} \ = \ ...[/mm]
>
> Wie kommst du nun hier drauf, auf der rechten Seite 4
> einzusetzen.
Das ist der Induktionsschritt: du nimmst an, dass [mm]a_n \le 4[/mm], daher ist [mm]\wurzel{a_n+12} \le \wurzel{4+12} [/mm].
> > Wenn Du nun sowwohl Monotonie als auch Beschränktheit
> > gezeigt hast, folgt daraus unmittelbar die Konvergenz.
> Ok und die Monotonie weise ich nun so nach:
> [mm]a_n\le a_{n+1}\le a_{n+2}[/mm]
> [mm]\wurzel{a_n+12}\le \wurzel{\wurzel{a_n+12}+12}[/mm]
>
> [mm]a_n+12\le\wurzel{a_n+12}+12[/mm]
> [mm]a_n\le\wurzel{a_n+12}[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Das geht: du musst nochmal quadrieren, dann quadratische Ergänzung machen und Wurzel ziehen, dann kommt [mm]a_n\le 4[/mm] raus.
Oder du zeigst auch die Monotonie mit vollständiger Induktion, indem du [mm]a_2\le a_1[/mm] überprüfst und mit [mm]a_{n+1}=\wurzel{a_n+12}[/mm] die Folgerung [mm]a_{n+1}\le a_n \implies a_{n+2}\le a_{n+1}[/mm] ziehst.
> > Den
> > Grenzwert kannst Du dann über folgenden Ansatz ermitteln:
> >
> > [mm]a \ := \ \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}[/mm]
Dazu musst du vorher nachweisen, dass es einen Grenzwert gibt, nur dann kannst du diese Folgerung ziehen und auf beiden Seiten von [mm]a_{n+1} = \wurzel{a_n+12}[/mm] n gegen [mm]\infty[/mm] gehen lassen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Do 13.12.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
Vielen Dank für die große Hilfe!
Gruß ONeill
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