Konvergenz und Grenzwert < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo leute,
vielleicht könnt ihr mir ja helfen. hab folgende aufgabe zu lösen:
Für welche a [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die Folge [mm] (y_{n})_{n\in \IR} [/mm] , falls
[mm] y_{2}= \bruch{a^{2n} -1}{a^{2n} +1} [/mm] .
Man bestimmt den Grenzwert, wenn möglich.
Danke schonmal im Vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
so dann hier die Antwort. Es geht ganz einfach mit der Fallunterscheidung.
Fall1: a=0
dann steht nur noch [mm] \bruch{-1}{1} [/mm] da und damit ist der Grenzwert hier -1
Fall2: |a| =1 (Betrag kannst du schreiben weil du wegen 2n immer nen geraden Exponenten hast)
also steht dann da [mm] \bruch{1^{2n}-1}{1^{2n}+1} [/mm] also ist der Grenzwert hier logischerweise null da [mm] 1^n [/mm] immer 1 ist.
Fall3: |a| > 1 n>0 hier ist der Grenzwert 1
Begründung: der Zähler ist ja konstannt um 2 kleiner als der Nenner. Diese Differenz kann man im Unendlichen [mm] (a^{2n}-1 [/mm] und [mm] a^{2n}+1 [/mm] laufen gegen unendlich) vernachlässigen also ist der Grenzwert 1.
Fall 4:|a|<1 n>0 hier ist der Grenzwert -1
Begründung: [mm] a^{2n}-1 [/mm] und [mm] a^{2n}+1 [/mm] laufen gegen 0 und dann steht da nur noch -1. Wenn man Zahlen zwischen 0 und 1 oft hoch genug potenziert sind sie null. logisch oder?
Fall 5: n=0 hier ist der Grenzwert -1
da [mm] a^{2n}-1 [/mm] und [mm] a^{2n}+1 [/mm] null sind.
Fall 6: |a|<1 n<0 Grenzwert 1
ist praktisch gleich fall 3 bloß ein wenig umgeschrieben.
Fall 7: |a|>1 n<0 Grenzwert -1
Gut mehr Fälle sind mir nicht eingefallen.
Noch Fragen? Hätte man eigentlich auch alleine drauf kommen können. Formulier es vielleicht noch ein wenig schöner dann gibts Punkte.
Gruß Shaguar
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