Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Sunday |
| Aufgabe | Untersuchen ob nachstehende Folge [mm] a_{n} [/mm] konvergiert und ggf. den Grenzwert berechnen:
[mm] a_{1}=1, a_{n+1}=\bruch{1}{2}a_{n}+1
[/mm]
Es gilt 1 [mm] \le a_{n} \le [/mm] 2 für alle n. |
Hallo,
obige Frage gilt es zu lösen. Sind meine bisherigen Überlegungen korrekt?
[mm] a_{(n+1)+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}a_{n+1}+1 [/mm]
// [mm] a_{n+1} [/mm] einsetzen
[mm] a_{(n+1)+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}a_{n}+1)+1)
[/mm]
[mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}a_{n}+\bruch{3}{2}
[/mm]
// [mm] a_{n} [/mm] mit n = 1 einsetzen
[mm] \bruch{3}{2}=\bruch{6}{4} \le \bruch{7}{4}
[/mm]
daraus folgt: [mm] a_{n+1} \le a_{n+2} [/mm] und daraus folgt die Folge ist monoton steigend oder?
Wie zeige ich aber nun das 1 [mm] \le a_{n} \le [/mm] 2 für alle n gilt?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Mi 29.03.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo sunday
Du hast doch schon a1, [mm] a2\le2, [/mm] dann mach doch ne einfache vollständige Induktion: Vors: [mm] an\le [/mm] 2 daraus folgern [mm] a_{n+1} \le2 [/mm] fertig
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Sunday |
Sorry, verstehe irgendwie nur Bahnhof?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Mi 29.03.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo sunday
Kennst du die Vollständige Induktion nicht?
Wenn eine Zahl a<2 folgt daraus a/2<1 und daraus a/2+1<2.
Wenn b=a/2+1 kann ich wieder folgern b/2+1<2 usw, usw. d.h. wenn ich mit ner Zahl kleiner 2 anfange und immer die nächste dadurch finde, dass ich sie halbiere und 1 addiere, dann bleib ich immer unter 2.
Formalisiert heisst das vollst. Induktion. und ohne die kannst dus nicht beweisen!
Gruss leduart
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