Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Do 30.04.2015 | | Autor: | brudi |
| Aufgabe | Untersuche auf Konvergenz und bestimme den Grenzwert:
${ a [mm] }_{n } [/mm] = [mm] \frac [/mm] { 3{ n [mm] }^{ 2 }-n [/mm] }{ 5+{ (-1) [mm] }^{ n }\cdot [/mm] 2{ n [mm] }^{2} [/mm] } $ |
Wie würdet ihr hier vorgehen? Ich steh grade etwas auf dem Schlauch!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Do 30.04.2015 | | Autor: | chrisno |
Annehmen, dass ein Grenzwert existiert, mit [mm] $\br{1}{n^2}$ [/mm] erweitern und dann nachsehen, was herauskommt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Do 30.04.2015 | | Autor: | brudi |
Ich komme dann auf:
[mm] $\frac [/mm] { 3n - 1 }{ 5n+{ (-1) [mm] }^{ n }\cdot [/mm] 2{ n [mm] }^{3} [/mm] } $
Wie kann mir das weiter helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Do 30.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich komme dann auf:
>
> [mm]\frac { 3n - 1 }{ 5n+{ (-1) }^{ n }\cdot 2{ n }^{3} }[/mm]
Hä ? Wie kommst Du denn darauf ? Richtig ists nicht !
>
> Wie kann mir das weiter helfen?
Nein.
Hast Du das
https://matheraum.de/read?i=1057231
nicht gelesen ?
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Do 30.04.2015 | | Autor: | chrisno |
Die Befürchtung ist, dass Du bei der Burch und Klammerrechnung Fehler machst.
Erweitern heißt: den Zähler und den Nenner mit dem gleichen Faktor multiplizieren.
Das Multiplizieren führst Du durch, indem Du zuerst um den Nenner und den Zähler ein Klammerpaar setzt und dann die Multiplikation durchführst. Schreibe da in einzelnen Schritten auf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Do 30.04.2015 | | Autor: | brudi |
Ich habe es mir in einzelnen Schritten aufgeschrieben und komme jetzt auf
$ [mm] \frac [/mm] { [mm] \frac{ -1 }{n } [/mm] + 3 }{ [mm] \frac{5 }{{n}^{ 2 }}+ [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] { -1 [mm] }^{n} [/mm] } $
Sieht das vielleicht richtig aus? 
Falls ja, kann ich davon ausgehen, dass da [mm] $\frac{-1}{n}$ [/mm] und [mm] $\frac{5}{{n}^{2}}$ [/mm] gegen 0 laufen und [mm] ${(-1)}^{n}$ [/mm] immer -1 für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist, du, Fred, so auf die [mm] $\frac{3}{2}$ [/mm] kommst? Wie schließe ich daraus die Divergenz?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Do 30.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe es mir in einzelnen Schritten aufgeschrieben und
> komme jetzt auf
>
> [mm]\frac { \frac{ -1 }{n } + 3 }{ \frac{5 }{{n}^{ 2 }}+ 2 \cdot { -1 }^{n} }[/mm]
>
> Sieht das vielleicht richtig aus?
fast. Es ist
$ { a [mm] }_{n } [/mm] = [mm] \frac [/mm] { 3{ n [mm] }^{ 2 }-n [/mm] }{ 5+{ (-1) [mm] }^{ n }\cdot [/mm] 2{ n [mm] }^{2} }=\frac [/mm] { [mm] \frac{ -1 }{n } [/mm] + 3 }{ [mm] \frac{5 }{{n}^{ 2 }}+ [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] { [mm] \red{(}-1\red{)} }^{n} [/mm] } $
[Es gibt dafür eigentlich zwei Rechenmöglichkeiten:
1. Alternative: ${ a [mm] }_{n } [/mm] = [mm] \frac [/mm] { 3{ n [mm] }^{ 2 }-n [/mm] }{ 5+{ (-1) [mm] }^{ n }\cdot [/mm] 2{ n [mm] }^{2} }=\frac{1/n^2}{1/n^2}*\frac [/mm] { 3{ n [mm] }^{ 2 }-n [/mm] }{ 5+{ (-1) [mm] }^{ n }\cdot [/mm] 2{ n [mm] }^{2} [/mm] }=...$
oder (indem man im Zähler und Nenner jeweils [mm] $n^2$ [/mm] vorklammert) die
2. Alternative: ${ a [mm] }_{n } [/mm] = [mm] \frac [/mm] { 3{ n [mm] }^{ 2 }-n [/mm] }{ 5+{ (-1) [mm] }^{ n }\cdot [/mm] 2{ n [mm] }^{2} }=\frac{n^2*(\tfrac{3n^2}{n^2}-\tfrac{n}{n^2})}{n^2*(\tfrac{5}{n^2}+(-1)^n\tfrac{2n^2}{n^2})}=...$]
[/mm]
> Falls ja, kann ich davon ausgehen, dass da [mm]\frac{-1}{n}[/mm] und
> [mm]\frac{5}{{n}^{2}}[/mm] gegen 0 laufen und [mm]{(-1)}^{n}[/mm] immer -1
> für alle [mm]n \in \IN[/mm] ist, du, Fred, so auf die [mm]\frac{3}{2}[/mm]
> kommst?
Nein. Das Problem ist, dass [mm] $2*(-1)^n$ [/mm] eben nicht immer [mm] $=2*1\,$ [/mm] ist. Ansonsten
wären Deine Argumente gar nicht so verkehrt - damit Du weißt, was Du da
aber eigentlich tust: Denke an die Grenzwertsätze für konvergente(!) Folgen.
Jetzt zu dem, was Fred vorgeschlagen hat:
Schreiben wir mal ${ a [mm] }_{k }=\frac [/mm] { [mm] \frac{ -1 }{k } [/mm] + 3 }{ [mm] \frac{5 }{{k}^{ 2 }}+ [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] { [mm] \red{(}-1\red{)} }^{k} }\,.$ [/mm] Ersetze nun
überall [mm] $k=2n\,$ [/mm] (dann werden nur noch gerade [mm] $k\,$ [/mm] durchlaufen) und lasse danach dann
$n [mm] \to \infty$ [/mm] laufen - der Unterschied wird i.W. sein, dass sich wegen [mm] $(-1)^{2n}=\left((-1)^2\right)^n=1^n=1$
[/mm]
die "Problematik: [mm] $(\,(-1)^n\,)_{n \in \IN}$ [/mm] divergiert" *weghebelt*. Das hattest
Du halt falsch gesehen: [mm] $(-1)^n=1$ [/mm] gilt nur für genau die geraden n, für ungerade
ist [mm] $(-1)^n=-1\,.$
[/mm]
> Wie schließe ich daraus die Divergenz?
Wir sehen dann: Die Teilfolge [mm] $(a_{2n})_n$ [/mm] strebt gegen [mm] $3/2\,.$
[/mm]
Mache das gleiche wie oben und ersetze [mm] $k\,$ [/mm] durch [mm] $2n+1\,$ [/mm] (wenn Dir das
besser gefällt, kannst Du auch [mm] $2n-1\,$ [/mm] nehmen).
Die Teilfolge [mm] $(a_{2n+1})_n$ [/mm] müßte im Falle der Konvergenz von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] aber den
gleichen Grenzwert haben, wie [mm] $(a_{2n})_n\,.$ [/mm] Aber $3/2 [mm] \not=\,-\,3/2$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Do 30.04.2015 | | Autor: | brudi |
Super, das habe ich verstanden! Vielen Dank für die ausführliche Erklärung!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Do 30.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Untersuche auf Konvergenz und bestimme den Grenzwert:
>
> [mm]{ a }_{n } = \frac { 3{ n }^{ 2 }-n }{ 5+{ (-1) }^{ n }\cdot 2{ n }^{2} }[/mm]
>
> Wie würdet ihr hier vorgehen? Ich steh grade etwas auf dem
> Schlauch!
Die Folge ist divergent, denn
[mm] a_{2n} \to \bruch{3}{2}
[/mm]
und
[mm] a_{2n+1} \to -\bruch{3}{2}
[/mm]
Zeige das !
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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