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| Aufgabe | | z.z [mm] (a_n) [/mm] ist konvergent [mm] \gdw (a_n) [/mm] ist beschränkt und besitzt genau einen Häufungswert |
Ich habe keinen Plan, wie ich das beweisen soll. Bitte um Hilfe.glg steffi
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Hallo,
> z.z [mm](a_n)[/mm] ist konvergent [mm]\gdw (a_n)[/mm] ist beschränkt und
> besitzt genau einen Häufungswert
> Ich habe keinen Plan, wie ich das beweisen soll. Bitte um
> Hilfe.glg steffi
Du hast zwei Richtungen zu zeigen.
Schauen wir uns " [mm] \Rightarrow [/mm] " an. Da [mm] (a_{n}) [/mm] konvergent (gegen einen Grenzwert a) ist, gilt:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N\in\IN: \forall [/mm] n > N: [mm] |a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Wir können insbesondere für [mm] \varepsilon [/mm] = 1 einsetzen und erhalten, dass ein [mm] N\in\IN [/mm] existiert, so dass [mm] \forall [/mm] n > N gilt: [mm] |a_{n}-a| < [/mm] 1, d.h. $a-1 < [mm] a_{n} [/mm] < a + 1$.
Wir können außerdem das Maximum [mm] $K:=\max_{1 \le n \le N} |a_{n}|$ [/mm] bestimmen, weil das Maximum von endlich vielen Werten immer existiert.
Warum ist [mm] (a_{n}) [/mm] nun beschränkt?
Zum Häufungspunkt: Es ist natürlich so, dass dann gerade der Grenzwert a der einzige Häufungspunkt der Folge [mm] (a_{n}) [/mm] ist (Dass a eine Häufungspunkt der Folge ist, sollte klar sein). Du kannst ja mal annehmen, es gäbe einen weiteren Häufungspunkt a'. Warum folgt dann a = a' ?
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Nun " [mm] \Leftarrow [/mm] ":
Hier bietet sich wahrscheinlich ein Widerspruchsbeweis an. Nimm also an, [mm] (a_{n}) [/mm] wäre beschränkt, [mm] (a_{n}) [/mm] hätte nur einen einzigen Häufungspunkt a und [mm] (a_{n}) [/mm] ist nicht konvergent.
[mm] (a_{n}) [/mm] ist nicht konvergent ist äquivalent zu:
[mm] $\exists \varepsilon [/mm] > 0: [mm] \forall [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] \exists [/mm] n >N: [mm] |a_{n}-a| > \varepsilon$.
[/mm]
Das bedeutet: Du kannst nacheinander für N = 1,2,3,... einsetzen und erhältst immer ein n > N so, dass [mm] |a_{n}-a| > \varepsilon [/mm] erfüllt ist.
Auf diese Weise erhältst du eine Teilfolge [mm] (a_{n_{k}}) [/mm] mit der Eigenschaft, dass für alle Folgenglieder von [mm] (a_{n_{k}}) [/mm] gilt: [mm] |a_{n_{k}}-a| [/mm] > [mm] \varepsilon.
[/mm]
Nun stelle zweierlei fest (das ist noch zu begründen!):
- Diese Teilfolge kann keinen Häufungspunkt haben
- Diese Teilfolge ist beschränkt.
Warum ist das ein Widerspruch?
Grüße,
Stefan
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