Konvergenz überprüfen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Do 27.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
| Aufgabe | Welche der folgenden Reihen [mm] \summe_{}^{} a_{n} [/mm] ist konvergent, welche divergent?
a) [mm] a_{n}= \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n}
[/mm]
b) [mm] a_{n}= \bruch{\wurzel{n+1} - \wurzel{n}}{n}
[/mm]
c) [mm] a_{n}= (\wurzel[n]{n} -1)^{n}
[/mm]
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Hi,
kann mir jemand sagen ob das richtig ist?
a)
[mm] a_{n}= \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n}= \bruch{1}{\wurzel{n+1} + \wurzel{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1} } [/mm] + [mm] \bruch{1}{ \wurzel{n}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{}^{} a_{n} [/mm] divergent ; 1/2 < 1(Rieman-zeta)
b) [mm] a_{n}= \bruch{\wurzel{n+1} - \wurzel{n}}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n (\wurzel{n+1} + \wurzel{n})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n (\wurzel{n+1}) + n^{\bruch{3}{2}}} \le (\bruch{1}{n})^{ \bruch{3}{2}}
[/mm]
( [mm] \summe_{}^{} (\bruch{1}{n})^{ \bruch{3}{2}} [/mm] konvergent 3/2 > 1(Rieman-zeta) )
[mm] \Rightarrow \summe_{}^{} a_{n} [/mm] konvergent nach Majorantenkrit.
c)
[mm] \wurzel[n]{|a_{n}|}= \wurzel[n]{(\wurzel[n]{n} -1)^{n}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_{n}|}= \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel[n]{n} [/mm] -1) < 1
[mm] \Rightarrow [/mm] konvergent nach Wurzelkriterium
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Do 27.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
in a ist der letzte Term falsch. Ich arbeite dran ^^
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Hallo SpoOony!
Die beiden letzten Aufgaben sind okay!
Bei der 1. Aufgabe solltest Du nochmal drüber gehen. Schließlich gilt:
[mm] $$\bruch{1}{a+b} [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{a}+\bruch{1}{b}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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