Konvergenz u.e. Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Entscheiden Sie, für welche p > 0 die folgenden Reihen bzw. uneigentlichen Integrale bedingt und absolut konvergent sind.
[mm] a)\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{sin^{2}n}{n}
[/mm]
[mm] b)\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n}+(-1)^{n}}
[/mm]
[mm] c)\integral_{1}^{\infty}{cos(x^{p})dx} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Es sei [mm] \{a_{n}\}_{n\in\IN} [/mm] eine Positive Zahlenfolge mit dem endlichen Grenzwert a und es sei x>0. Untersuchen Sie die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!*x^{n}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(nx+a_{n})}
[/mm]
auf Konvergenz in Abhängigkeit von a und x |
Hallo Matheraum
zur Aufgabe1
a)um die absolute Konvergenz zu prüfen, beachten den Betrag.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{sin^{2}n}{n} [/mm] -->
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}|\bruch{sin^{2}n}{n}|
[/mm]
und der [mm] sin^{2}(n) [/mm] ist für alle n zw. Null und 1
--> [mm] n\to\infty [/mm] geht die Reihe gegen null [mm] \Rightarrow [/mm] absolut konvergent [mm] \Rightarrow [/mm] auch bedingt konvergent.
dazu hatte noch überlegt, dass man es mit dem Satz von Dirichlet machen kann. Lieg ich da richtig?
b) habe ich mit einer abschätzung gemacht.
zuvor: [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_{k}\le\summe_{k=1}^{\infty}b_{k} \Rightarrow [/mm] konvergiert [mm] b_{k} [/mm] so auch [mm] a_{k}. [/mm] divergiert [mm] a_{k} [/mm] so auch [mm] b_{k}.
[/mm]
ich führ es mal in kurzform aus.
[mm] |\bruch{1}{\wurzel{n}+(-1)^{n}}|\ge\bruch{1}{\wurzel{n}+1}\ge\bruch{1}{\wurzel{n}+\wurzel{n}}\ge\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n}
[/mm]
von der Reihe [mm] \bruch{1}{n} [/mm] wissen wir dass sie divergent ist. also ist auch unsere Reihe divergent.
d.h. man muss die bedingte konvergenz prüfen:
[mm] \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n}+(-1)^{n}}\le\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n}-1} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}*\bruch{1}{\wurzel{n}-1}
[/mm]
nach Satz von Leibniz :
[mm] a_{k}>0 [/mm] , [mm] \{a_{k}\}_{k\in\IN} [/mm] monoton fallend und [mm] a_{k} \to [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{k} [/mm] konv.
bei uns: [mm] a_{k}=\bruch{1}{\wurzwl{n}-1}. [/mm] alle bedingungen erfüllt. also beding konv. ??? stimmt das so?
und zu c)
hier habe ich das [mm] x^{p} [/mm] substituiert. und bekomme [mm] y=x^{p}, x^{(1)}=\bruch{1}{p}*y^{\bruch{1-p}{p}}
[/mm]
verwende den Satz von Dirichlet: ist a diffb. und stetig, monoton fallend und der limes gleich null
und besitzt b eine beschränkte Stammfunktion so konvergiert [mm] \integral_{0}^{\infty}{a(x)*b(x) dx}.
[/mm]
bei uns: a(x) = [mm] \bruch{1}{p}*y^{\bruch{1-p}{p}}
[/mm]
b(x)=cos(y)
also muss ich untersuchen wann [mm] y^{\bruch{1-p}{p}} [/mm] monoton fallend ist und der limes = 0 ist.
ich hab raus, dass es für p<0 monoton fallend ist
für p=0 ist es das integral von cos(1), also ein wert
und für p>0 wiederrum monoton fallend.
aber ich bin mir nicht sicher ob das so stimmt, könntet ihr mir weiterhelfen?
und zu aufgabe 2 hab ich etliche sätz gelesen, aber keiner hilft mir richtig weiter. könntet ihr mir vielleicht ein paar tipps geben, wie ich vorgehen könnte?
Danke, Lg :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Do 11.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Entscheiden Sie, für welche p > 0 die folgenden Reihen bzw.
> uneigentlichen Integrale bedingt und absolut konvergent
> sind.
>
> [mm]a)\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{sin^{2}n}{n}[/mm]
>
> [mm]b)\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n}+(-1)^{n}}[/mm]
>
> [mm]c)\integral_{1}^{\infty}{cos(x^{p})dx}[/mm]
> Es sei [mm]\{a_{n}\}_{n\in\IN}[/mm] eine Positive Zahlenfolge mit
> dem endlichen Grenzwert a und es sei x>0. Untersuchen Sie
> die Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!*x^{n}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(nx+a_{n})}[/mm]
>
> auf Konvergenz in Abhängigkeit von a und x
> Hallo Matheraum
>
> zur Aufgabe1
> a)um die absolute Konvergenz zu prüfen, beachten den
> Betrag.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{sin^{2}n}{n}[/mm] -->
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|\bruch{sin^{2}n}{n}|[/mm]
>
> und der [mm]sin^{2}(n)[/mm] ist für alle n zw. Null und 1
>
> --> [mm]n\to\infty[/mm] geht die Reihe gegen null [mm]\Rightarrow[/mm]
> absolut konvergent [mm]\Rightarrow[/mm] auch bedingt konvergent.
Hallo,
du machst es dir zu einfach. Auch die Sumanden der harmoniscen Reihe (1/n) gehen gegen Null, allerdings kovergiert die harmonische Reihe nicht.
Gruß Abakus
> dazu hatte noch überlegt, dass man es mit dem Satz von
> Dirichlet machen kann. Lieg ich da richtig?
>
> b) habe ich mit einer abschätzung gemacht.
> zuvor:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_{k}\le\summe_{k=1}^{\infty}b_{k} \Rightarrow[/mm]
> konvergiert [mm]b_{k}[/mm] so auch [mm]a_{k}.[/mm] divergiert [mm]a_{k}[/mm] so auch
> [mm]b_{k}.[/mm]
> ich führ es mal in kurzform aus.
>
> [mm]|\bruch{1}{\wurzel{n}+(-1)^{n}}|\ge\bruch{1}{\wurzel{n}+1}\ge\bruch{1}{\wurzel{n}+\wurzel{n}}\ge\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n}[/mm]
> von der Reihe [mm]\bruch{1}{n}[/mm] wissen wir dass sie divergent
> ist. also ist auch unsere Reihe divergent.
> d.h. man muss die bedingte konvergenz prüfen:
>
> [mm]\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n}+(-1)^{n}}\le\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n}-1}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}*\bruch{1}{\wurzel{n}-1}[/mm]
>
> nach Satz von Leibniz :
> [mm]a_{k}>0[/mm] , [mm]\{a_{k}\}_{k\in\IN}[/mm] monoton fallend und [mm]a_{k} \to[/mm]
> 0 [mm]\Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{k}[/mm] konv.
>
> bei uns: [mm]a_{k}=\bruch{1}{\wurzwl{n}-1}.[/mm] alle bedingungen
> erfüllt. also beding konv. ??? stimmt das so?
>
> und zu c)
> hier habe ich das [mm]x^{p}[/mm] substituiert. und bekomme [mm]y=x^{p}, x^{(1)}=\bruch{1}{p}*y^{\bruch{1-p}{p}}[/mm]
>
> verwende den Satz von Dirichlet: ist a diffb. und stetig,
> monoton fallend und der limes gleich null
> und besitzt b eine beschränkte Stammfunktion so
> konvergiert [mm]\integral_{0}^{\infty}{a(x)*b(x) dx}.[/mm]
> bei uns:
> a(x) = [mm]\bruch{1}{p}*y^{\bruch{1-p}{p}}[/mm]
> b(x)=cos(y)
>
> also muss ich untersuchen wann [mm]y^{\bruch{1-p}{p}}[/mm] monoton
> fallend ist und der limes = 0 ist.
> ich hab raus, dass es für p<0 monoton fallend ist
> für p=0 ist es das integral von cos(1), also ein wert
> und für p>0 wiederrum monoton fallend.
> aber ich bin mir nicht sicher ob das so stimmt, könntet
> ihr mir weiterhelfen?
>
> und zu aufgabe 2 hab ich etliche sätz gelesen, aber keiner
> hilft mir richtig weiter. könntet ihr mir vielleicht ein
> paar tipps geben, wie ich vorgehen könnte?
>
> Danke, Lg :)
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Und wie mach ich jetzt nun? und was mit den anderen Sachen? stimmen die so, oder mache ich da auch einiges falsch? kannst du mir tipps geben?
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Do 11.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
Aufgabe 1 a) würde ich mit dem Leibniz-Kriterium versuchen.
Gruß barsch
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könnte ich bei der absoluten konvergenz nicht auch den Dirichlet benutzen? Weil das Kriterium von Leibniz sagt ja nur etwas über bedingte konvergenz?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 13.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:37 Fr 12.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
zu b)
Dort kannst Du das Leibniz-Kriterium leider nicht anwenden. Dafür müsste die Folge [mm] $a_n:=\frac{1}{\sqrt{n}+(-1)^n}$ [/mm] eine monoton fallende und reelle Nullfolge sein. [mm] $a_n$ [/mm] ist zwar eine reelle Nullfolge, aber nicht monoton fallend. Diese Tatsache hängt mit dem [mm] $(-1)^n$ [/mm] zusammen. Genauer wächst jeder zweite Term wieder an. Kurz: Das Leibniz-Kritrium ist nicht anwendbar.
Gruß Denny
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Sa 13.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Sa 13.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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