Konvergenz richtig berechnet? < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 So 15.02.2015 | | Autor: | jengo32 |
| Aufgabe | Auf Konvergenz zu überprüfen
[mm] \bruch{3^n}{n*2^n} [/mm] |
Hallo
Wenn ich das Wurzelkriterium anwenden würde ich wie folgt vorgehen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3^n}{n*2^n} [/mm] | [mm] \wurzel[n]
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3}{n^\bruch{1}{n}*2}
[/mm]
[mm] n^\bruch{1}{n} [/mm] ist 1 , weil etwas hoch 0 immer eins ist? (bestimmt in diesem fall aber eben nicht so (?)
somit würde ich 3/2 herausbekommen, was >1 ist und somit ist keine konvergenz gegeben?
Mit dem Quotientenkriterium geprüft.. :
[mm] \bruch{3^n+1}{(n+1)*2^n+1} [/mm] * [mm] \bruch{n*2^n}{3^n}
[/mm]
gekürzt und ausgeklammert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3}{2+\bruch{2}{n}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
komme aufs selbe hinaus, aber befürchte dass Fehler vorhanden sind :)
Bitte um Hilfe
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Hiho,
> [mm]n^\bruch{1}{n}[/mm] ist 1 , weil etwas hoch 0 immer eins ist?
Autsch!
Du kannst doch nicht den Exponenten unabhängig von der Basis behandeln.
Aber 1 kommt da trotzdem raus (habt ihr bestimmt mal gezeigt)
> somit würde ich 3/2 herausbekommen, was >1 ist und somit ist keine konvergenz gegeben?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Mit dem Quotientenkriterium geprüft.. :
>
> [mm]\bruch{3^n+1}{(n+1)*2^n+1}[/mm] * [mm]\bruch{n*2^n}{3^n}[/mm]
Die Formeln vorher anschauen, so ist das natürlich Blödsinn:
Du meinst:
[mm]\bruch{3^{n+1}}{(n+1)*2^{n+1}}[/mm] * [mm]\bruch{n*2^n}{3^n}[/mm]
> gekürzt und ausgeklammert:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3}{2+\bruch{2}{n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 So 15.02.2015 | | Autor: | jengo32 |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 So 15.02.2015 | | Autor: | jengo32 |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{(3+\bruch{1}{n})^n} [/mm] |
Wie kann ich denn geschickt bei der oben genannten Aufgabe den Grenzwert berechnen? ( Nur zum Verständnis. Wurzel / Quotientenkriterium benutzt man um auf Konvergenz / Divergenz zu prüfen und hat nichts mit dem Grenzwert zu tun oder? )
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Also zuerst: Ja Wurzel- und Quotientenkriterium sind reine Kriterien, um zu prüfen ob Konvergenz vorliegt oder nicht, sie liefern dir im Falle der Konvergenz keine Aussage über den Wert.
Aber ich kenne diese Kriterien nur im Zusammenhang mit der Konvergenz von unendlichen Reihen, du beschreibst hier aber die ganze Zeit Grenzwerte von Folgen?! Soweit ich weiß kannst du die Kriterien da gar nicht verwenden.
Zur Lösung deiner zweiten Aufgabe kann ich leider momentan nicht wirklich was beitragen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 So 15.02.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{(3+\bruch{1}{n})^n}[/mm]
>
> Wie kann ich denn geschickt bei der oben genannten Aufgabe
> den Grenzwert berechnen? ( Nur zum Verständnis. Wurzel /
> Quotientenkriterium benutzt man um auf Konvergenz /
> Divergenz zu prüfen und hat nichts mit dem Grenzwert zu
> tun oder? )
wie schon gesagt wurde: Du hast hier gar keine Reihen stehen.
Zu obiger Aufgabe: Bekannt sein sollte
[mm] $\lim_{n \to \infty} (1+\tfrac{z}{n})^n=\exp(z)$,
[/mm]
das gilt sogar für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] (Dir reicht hier $z [mm] \in \IR$).
[/mm]
Damit folgt wegen
[mm] $\frac{n}{(3+\tfrac{1}{n})^n}=\frac{n}{3^n*{(1+\tfrac{1/3}{n})}^n}=\frac{n}{3^n}*\frac{1}{{(1+\tfrac{1/3}{n})}^n},$
[/mm]
dass der obige Limes Null sein muss, denn Deine Folge ist das Produkt einer
Nullfolge (nämlich [mm] $(n/3^n)_n$) [/mm] und einer beschränkten Folge (nämlich [mm] $(1/{(1+\tfrac{1/3}{n})}^n)_n$).
[/mm]
Zeige aber noch, dass [mm] $n/3^n \to [/mm] 0$.
(Das kannst Du wieder mit dem binomischen Lehrsatz machen, oder Du
setzt an:
Beweise, dass
[mm] $\frac{n}{3^n}$ $\le$ $\frac{1}{2^n}$
[/mm]
für alle (genügend großen [mm] $\leftarrow$ das ist zu präzisieren!) $n \in \IN$.)
Gruß,
Marcel
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 So 15.02.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Auf Konvergenz zu überprüfen
>
> [mm]\bruch{3^n}{n*2^n}[/mm]
> Hallo
>
> Wenn ich das Wurzelkriterium anwenden würde ich wie folgt
> vorgehen:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3^n}{n*2^n}[/mm] |
> [mm]\wurzel[n][/mm]
es geht doch um die Konvergenz der Folge [mm] $(3^n/(n*2^n))_n$, [/mm] oder? Da steht
jedenfalls KEINE Reihe!!!
Es gilt
[mm] $\frac{3^n}{n*2^n}=\left(\frac{3}{2}\right)^n*\frac{1}{n}$
[/mm]
Ich behaupte, dass damit
[mm] $\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^n}{n*2^n}\right)=\infty$
[/mm]
beweisbar ist.
Tipp: Für $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt
[mm] $(3/2)^n=(1+\tfrac{1}{2})^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] (1/2)^k$ $\ge$ $\frac{1}{2^2}*{n \choose 2}=\frac{n^2-n}{8}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:50 So 15.02.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]n^\bruch{1}{n}[/mm] ist 1 , weil etwas hoch 0 immer eins ist?
> (bestimmt in diesem fall aber eben nicht so (?)
nur nochmal kurz dazu: Man kann viel allgemeiner zeigen, dass
[mm] $\lim_{0 < x \to 0}x^x=1$
[/mm]
ist: Für alle $x > 0$ gilt zunächst
[mm] $x^x=\exp(x*\ln(x)).$
[/mm]
Weiter gilt (im Folgenden ist durchweg $x > [mm] 0\,$, [/mm] was ich aber nicht mehr erwähne)
[mm] $\lim_{x \to 0}x*\ln(x)=\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x)}{1/x}=\lim_{x \to 0}\frac{1/x}{-1/x^2}=-\lim_{x \to 0}x=0$
[/mm]
nach de l'Hôpital. Da $x [mm] \mapsto e^x$ [/mm] (links-)stetig in 0 ist [das ist KEIN Verschreiber, beachte:
für $1 > x > 0$ ist [mm] $x*\ln(x) [/mm] < 0$(!!!)], folgt [mm] $x^x \to e^0=1$ [/mm] bei $0 < x [mm] \to [/mm] 0$!).
Damit folgt auch
[mm] $\lim_{n \to \infty} n^{1/n}=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{1/n}\right)^{1/n}=\frac{\lim_{n \to \infty}1^{1/n}}{\lim_{n \to \infty}(1/n)^{1/n}}=1/1=1$.
[/mm]
(Beachte, dass das zweite Gleichheitszeichen von links der Existenz der
BEIDEN Grenzwerte, die im Bruch rechts davon stehen, bedarf!)
Gruß,
Marcel
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