Konvergenz rekursiver Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Sa 05.11.2011 | | Autor: | Levit |
| Aufgabe | Zeigen sie direkt mittels der [mm] \epsilon [/mm] -Definition des Grenzwertes:
Die durch [mm] a_1:=2 [/mm] und [mm] a_{n+1}:=\bruch{3}{5}*a_n+2 [/mm] rekursiv definierte Folge [mm] (a_n) [/mm] konvergiert gegen a=5.
Tipp: Zeigen sie zunächst, dass für alle [mm] n\in\IN [/mm] : [mm] |a_n-5|=5*(\bruch{3}{5})^n [/mm] |
Also meine Idee ist die, anzunehmen, dass [mm] \epsilon [/mm] so klein ist, dass [mm] a_n\approx a_{n+1}.
[/mm]
Damit hätte ich dann [mm] a_n=\bruch{3}{5}*a_n+2, [/mm] oder [mm] x=\bruch{3}{5}*x+2.
[/mm]
Das nach x gelöst, hätte ich dann den Grenzwert 5.
Nun aber meine Frage.
1. Ist das überhaupt ein Beweis mittels der [mm] \epsilon [/mm] -Definition?
2. Wenn das so geht, wozu dann der Tipp?
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Hi Levit,
dein Ansatz ist schonmal ganz gut. Allerdings setzt du von vornherein voraus, dass die Folge konvergiert. Ist dies der Fall, dann gilt
[mm] \lim_{n\to\infty}a_n=a,\quad \lim_{n\to\infty}a_{n+1}=a[/mm]
und mit der Rekursionsformel
[mm] a=\frac{3}{5}a+2\ \Leftrightarrow\ a=5.[/mm]
D.h. du hast damit nur gezeigt, dass, wenn die Folge konvergiert, der Grenzwert 5 sein muss. Für die Konvergenz musst du allerdings noch etwas tun. Da hast du die Möglichkeit zu zeigen, dass die Folge beschränkt und monoton ist oder du hälst dich an den Hinweis.
Gruß
Spunk
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Sa 05.11.2011 | | Autor: | Levit |
Ah ja, und das zeige ich einfach mit vollständiger Induktion. Habe es grad schon mal gemacht, es klappt auch.
Und damit wäre die Folge ja konvergent, wenn das gilt? Das sehe ich noch nicht ganz...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Sa 05.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Damit hast Du also
$ [mm] |a_n-5|=5\cdot{}(\bruch{3}{5})^n [/mm] $
Jetzt hattet Ihr wahrscheinlich, dass [mm] (q^n) [/mm] eine Nullfolge ist , falls |q|<1 ist.
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Sa 05.11.2011 | | Autor: | Levit |
Damit geht [mm] |a_n [/mm] -5| gegen 0, und damit [mm] |a_n -5|<\epsilon [/mm] für [mm] n->\infty
[/mm]
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Hallo Levit,
> Damit geht [mm]|a_n[/mm] -5| gegen 0, und damit [mm]|a_n -5|<\epsilon[/mm]
> für [mm]n->\infty[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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