Konvergenz prüfen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Externes Bild http://s1.directupload.net/file/d/3055/doy44aeg_jpg.htm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also die Aufgabe ist ja recht einfach. Z.B. bei der ersten Aufgabe konvergiert es gegen 0 da der Zähler kleiner als der Nenner ist.
Aber wie soll ich das prüfen? Mein Professor hat das so gemacht:
[mm] a_{n}=42
[/mm]
[mm] \lim_{n \to \infty } a_{n}=42
[/mm]
Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0 beliebig
Dann gilt fuer \ N=0
dass | [mm] a_{n} [/mm] - a | = | 42-42 | = 0 fuer alle n [mm] \geq [/mm] N
Also so wie ich das verstanden habe, bedeutet es dass ich [mm] a_{n} [/mm] - Grenzwert rechnen soll und dies als Betrag gleich N sein muss (In diesem Beispiel 0)
Aber was muss ich fuer [mm] a_{n} [/mm] schreiben, bezogen auf Aufgabe a
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Fr 26.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei [mm] a_n=43 [/mm] handelt es sich um eine konstante Folge, deshalb ist die Konvergenz leicht zu zeigen.
sicher havt ihr noch ein anderes Beispiel!
das einfachst ist 1/n konbergiert gegen 0
denn zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] gibz rs ein N sodass für alln>N gilt
[mm] |1/n-0|<\epsilon, [/mm] denn man kann einfach [mm] N=[1/\epsilon] [/mm] nehmen.
bei [mm] (n+1)/n^2 [/mm] siehst du hoffenrlich, dass der Nenner viel schneller wächst als der Zähler, dass der Grenzwert (GW) also 0 ist
also musst du jetzt zu jedem [mm] \epsilon [/mm] ein N finden--
also [mm] |(n+1)/n^2 -0|<\epsilon [/mm] daraus kannst du einfach ein n
ausrechnen und dann N die nächst größere ganze Zahl nehmen
du musst aber nicht das beste N nehmen, sondern kannst ein viel zu großes nehmen, die haptsache ist der Ausdruck ist für alle n>N sicher [mm] <\epsilon.
[/mm]
Hier ertwa
für alle n>1 gilt [mm] (n+1)/n^2<(n+n)/n^2=2/n
[/mm]
und [mm] 2/n<\epsilon, [/mm] wenn [mm] n>2/\epsilon.
[/mm]
nun ran an die nächste Aufgabe!
um zu zeigen, dass eine Folge divergiert, muss du zeigen dass sie a) beliebig groß wird wie etwa [mm] a_n=n [/mm] oder zwischen mehreren Werten pendelt, wie etwa [mm] a_n=(-1)^n
[/mm]
Es wäre viel freundlicher, wenn du sie aufgaben, die ja kurz sind abtippst, statt uns auf eine Seite zu jagen, die ja auch verseucht sein könnte!
Gruss leduart
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Danke für deine schnelle Antwort, leider konnte ich gestern nicht mehr antworten.
Leider hatten wir nur diese eine Funktion ausführlich auf Konvergenz geprüft. Im Prinzip verstehe ich auch, dass wenn der Nenner schneller wächst als der Zähler, dass er gegen 0 konvergiert und das man ein epsilon sucht welches ein Bereich angibt (ab einen gewissen N), wo sich die Funktion einpendelt, aber ich weiß nicht wie ich das beweisen soll. Also ich habe noch gewisse Fragen.
Wie kommst du auf diese Formel und wie hast du das epsilon bestimmt?: $ [mm] N=[1/\epsilon] [/mm] $
>> also musst du jetzt zu jedem $ [mm] \epsilon [/mm] $ ein N finden--
also $ [mm] |(n+1)/n^2 -0|<\epsilon [/mm] $ daraus kannst du einfach ein n
ausrechnen und dann N die nächst größere ganze Zahl nehmen
<<
Indem ich die Gleichung einfach nach n umstelle?
Ich verstehe nicht wie du auf diese Formel kommst und welchen Zweck es hat: $ [mm] (n+1)/n^2<(n+n)/n^2=2/n [/mm] $
<<Es wäre viel freundlicher, wenn du sie aufgaben, die ja kurz sind abtippst, statt uns auf eine Seite zu jagen, die ja auch verseucht sein könnte!>>
Ich wollte es auch einbinden, muss aber etwas falsches gemacht haben.
Danke für deine Hilfe, bin jetzt aber ein wenig verwirrt. Ich bin nicht gerade der beste in Mathe :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Sa 27.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.wenn du willst, dass [mm] 1/n<\epsilon [/mm] ist folgt doch für [mm] \epsilon>0 [/mm] direkt [mm] n>1/\epsilon
[/mm]
2. $ [mm] (n+1)/n^2<(n+n)/n^2=2/n [/mm] $
du willst [mm] (n+1)/n^2<\epsilon, [/mm] dann weisst du das gilt wenn
[mm] n+1)/n^2<(n+n)/n^2=2/n <\epsilon$ [/mm] daraus [mm] \n>2/\epsilon
[/mm]
sonst ist es umständlicher- aber auch richtig die ungleichung
[mm] (n+1)/n^2<\epsilon [/mm] zu lösen
[mm] n+1(n+1)/\epsilon [/mm] auch hier kannst du wieder grob abschätzen oder einfach mit pq formel rechnen
gruss leduart
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