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| Aufgabe | | Untersuchen sie [mm] (a_{n}) [/mm] mit [mm] a_{n}=\bruch{2n^2-n}{(n+1)^2} [/mm] auf Konvergenz ohne die Grenzwertsätze zu benutzen. |
Hallo,
soweit bin ich nun gekommen:
[mm] (a_{n}) [/mm] mit [mm] a_{n}=\bruch{2n^2-n}{(n+1)^2} [/mm] mit [mm] n\in\IN
[/mm]
Behauptung: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=2
[/mm]
Beweis:
[mm] |a_{n}-2|<\varepsilon [/mm] mit [mm] \varepsilon\in\IR^{+}
[/mm]
[mm] \gdw \left|\bruch{2n^2-n}{(n+1)^2}-2\right|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw \left|\bruch{-5n-2}{n^2+2n+1}\right|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw 5n+2<\varepsilon*(n^2+2n+1)
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{5n}{\varepsilon}+\bruch{2}{\varepsilon}
Jetzt komm ich nicht weiter... ich hab zwar die Idee der $p,q_$-Formel, komm aber da nicht weiter wegen der Ungleichung...
LG
Andreas
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Hallo!
Hier macht es Sinn, abzuschätzen! Die Ungleichung nur umzuformen funktioniert bei solchen Beweisen nicht (oft).
[mm]\gdw \left|\bruch{-5n-2}{n^2+2n+1}\right|<\varepsilon[/mm]
[mm]\gdw \bruch{5n+2}{n^2+2n+1}<\varepsilon[/mm]
Es gilt
[mm]\bruch{5n+2}{n^2+2n+1} < \bruch{5n+5}{n^2+2n+1} = \bruch{5*(n+1)}{(n+1)^{2}} = \bruch{5}{n+1} < \bruch{5}{n} < \epsilon[/mm]
Ich habe im Wesentlichen nur etwas im Nenner addiert, sodass ich dann oben und unten einen Term mit n kürzen konnte und somit nur noch ein linearer Term im Nenner verblieben ist - bei diesem kann man dann leicht mit Arch. Axiom zeigen, dass er kleiner als [mm] \epsilon [/mm] ist.
Stefan.
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Hallo,
ich kann mich noch erinnern, dass unser Mathelehrer dass mit der quadratischen Ergänzung und Fallunterscheidung gemacht hat... aber wie funktioniert das?
LG
Andreas
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Naja... Du könntest schreiben
[mm]\bruch{5n+2}{\epsilon} < n^{2} + 2n + 1[/mm]
[mm]\gdw \bruch{5n}{\epsilon} + \bruch{2}{\epsilon} < n^{2} + 2n + 1[/mm]
[mm]\gdw 0 < n^{2} + n*\left(2-\bruch{5}{\epsilon}\right) + \left(1-\bruch{2}{\epsilon}\right)[/mm]
Quadratische Ergänzung:
[mm]\gdw 0 < n^{2} + n*\left(2-\bruch{5}{\epsilon}\right) + \left(1-\bruch{5}{2\epsilon}\right)^{2} - \left(1-\bruch{5}{2\epsilon}\right)^{2} + \left(1-\bruch{2}{\epsilon}\right)[/mm]
[mm]\gdw 0 < \left(n + \left(1-\bruch{5}{2\epsilon}\right)\right)^{2} - \left(1-\bruch{5}{2\epsilon}\right)^{2} + \left(1-\bruch{2}{\epsilon}\right)[/mm]
[mm]\gdw \left(1-\bruch{5}{2\epsilon}\right)^{2} - \left(1-\bruch{2}{\epsilon}\right) < \left(n + \left(1-\bruch{5}{2\epsilon}\right)\right)^{2}[/mm]
Wie man das jetzt aber weiterspinnt um den Beweis für den Grenzwert zu erhalten, weiß ich nicht. Für das Wurzelziehen, was als nächstes folgt, würde man wahrscheinlich eine Fallunterscheidung vornehmen. Vielleicht erinnerst du dich ja selbst wieder, was ihr gemacht habt.
Stefan.
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oh gott ja... das wird kompliziert..
aber ihr seid so nett, dass ihr euch alle am bemühen seid!
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Hallo!
Wäre es folgendermaßen richtig?
[mm] \left(1-\bruch{5}{2\epsilon}\right)^{2} [/mm] - [mm] \left(1-\bruch{2}{\epsilon}\right) [/mm] < [mm] \left(n + \left(1-\bruch{5}{2\epsilon}\right)\right)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw \begin{cases} \wurzel{\left(1-\bruch{5}{2\epsilon}\right)^2-1+\bruch{2}{\epsilon}} < \left| n+1-\bruch{5}{2\epsilon}\right| & \mbox{für } \left(1-\bruch{5}{2\epsilon}\right)^2-1+\bruch{2}{\epsilon}\ge 0\\ n \mbox{beliebig}& \mbox{für } \left(1-\bruch{5}{2\epsilon}\right)^2-1+\bruch{2}{\epsilon} < 0\end{cases}
[/mm]
Kann mir das jmd weiterführen.. ich weiß ncht mehr weiter...
Ist das mit dem n beliebig richtig und wenn ja wieso?
LG und vielen Dank euch allen
Andreas
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> Hallo!
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> Wäre es folgendermaßen richtig?
>
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> [mm]\left(1-\bruch{5}{2\epsilon}\right)^{2}[/mm] -
> [mm]\left(1-\bruch{2}{\epsilon}\right)[/mm] < [mm]\left(n + \left(1-\bruch{5}{2\epsilon}\right)\right)^{2}[/mm]
>
==>
> [mm] \wurzel{\left(1-\bruch{5}{2\epsilon}\right)^2-1+\bruch{2}{\epsilon}} [/mm] < [mm] \left| n+1-\bruch{5}{2\epsilon}\right| [/mm]
==>
[mm] \wurzel{\left(1-\bruch{5}{2\epsilon}\right)^2-1+\bruch{2}{\epsilon}} [/mm] < [mm] n+1-\bruch{5}{2\epsilon}
[/mm]
oder
[mm] -\wurzel{\left(1-\bruch{5}{2\epsilon}\right)^2-1+\bruch{2}{\epsilon}} [/mm] > [mm] n+1-\bruch{5}{2\epsilon}
[/mm]
==>
[mm] \wurzel{\left(1-\bruch{5}{2\epsilon}\right)^2-1+\bruch{2}{\epsilon}} -(1-\bruch{5}{2\epsilon}) [/mm] < n
oder
[mm] -\wurzel{\left(1-\bruch{5}{2\epsilon}\right)^2-1+\bruch{2}{\epsilon}} -(1-\bruch{5}{2\epsilon}) [/mm] > n
Beim zweiten Fall hast Du links eine negative Zahl, und da [mm] n\in \IN [/mm] sein soll, kann man diesen fall streichen.
Also muß gelten:
n> [mm] \wurzel{\left(1-\bruch{5}{2\epsilon}\right)^2-1+\bruch{2}{\epsilon}} -(1-\bruch{5}{2\epsilon}).
[/mm]
Ehrlich gesagt, finde ich diese Art des Nachweises saublöd unnötig schwierig.
Nur nochmal, weil man es so leicht aus dem Blick verleirt:
Was ist jetzt eigentlich gewonnen?
Du weißt, daß für vorgegebenens [mm] \varepsilon [/mm] >0 Deine Folge, ab dem N-ten Folgenglied mit N> [mm] \wurzel{\left(1-\bruch{5}{2\epsilon}\right)^2-1+\bruch{2}{\epsilon}} -(1-\bruch{5}{2\epsilon}) [/mm] alle Folgenglieder dichter als [mm] \varepsilon [/mm] an der 2 dranliegen.
Wählst Du [mm] \varepsilon=\bruch{1}{10} [/mm] so erhältst Du: ab dem 49.Folgenglied ist der Abstand der Folgenglieder zur 2 kleiner als [mm] \bruch{1}{10}.
[/mm]
Der von Steppenhahn gezeigte Weg ist um Klassen bequemer. Hier erhält man, daß für alle Folgenglieder [mm] a_n [/mm] mit [mm] n>\bruch{5}{\varepsilon} [/mm] der Abstand geringer ist als [mm] \varepsilon.
[/mm]
Bemühen wir wieder [mm] \varepsilon=\bruch{1}{10} [/mm] , so erhalten wir: ab dem 50. Folgenglied.
Diese Gewurschtel mit den Wurzeln ist nur sinnvoll, wenn man sich dafür interessiert, welches das kleinste Folgenglied ist, bei dem die Abweichung weniger als [mm] \varepsilon [/mm] beträgt.
Für die Fragestellung nach der Konvergenz interessiert das aber nicht die Bohne. Dafür reicht es, wenn man irgendeinen "Schwellenwert" findet.
Nun kann es natürlich sein, daß Euer Lehrer Euch das Abschätzen ersparen wollte - oder sich die daraus erwachsenden Fragen, denn das Abschätzen sorgt auch leicht für Verwirrung.
Gruß v. Angela
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hallo,
ich dank dir sehr! mit den GW´renzwertsätzen gehts natürlich innerhaln von ein paar sec^^
Liebe Grüße
Andreas
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