Konvergenz nach Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Di 08.12.2009 | | Autor: | nikinho |
| Aufgabe | Seien {Xi} i=1,2,... unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen mit stetiger Verteilungsfunktion F, sowie
Mn := max{Xi | i=1,...,n} und Zn := n(1-F(Mn)) n aus [mm] \IN
[/mm]
Zeigen Sie, dass Zn nach Verteilung gegen eine absolut-stetige Zufallsvariable Z konvergiert und bestimmen Sie deren Verteilung |
Hallo,
gleich bei der ersten Aufgabe des neuen Blatts hakt es und ich denke es hakt beim Verständnis von F(Mn).
Ich denke: F(Mn) = P(X [mm] \le [/mm] Mn), also die Wahrscheinlichkeit, dass alle Xi von i=1 bis [mm] \infty [/mm] kleinergleich Mn ist.
Diese Wahrscheinlichkeit wäre 0, falls es ein größeres Xi gibt und 1, falls Mn das Maximum aller Xi ist (nicht nur von 1 bis n)
Falls das so stimmt, muss ich nun die Verteilungsfunktion von Zn bestimmen und davon den Limes nehmen.
Fn(z) = P(Zn [mm] \le [/mm] z) = P(n(1-F(Mn)) [mm] \le [/mm] z)
=P( F(Mn) [mm] \ge [/mm] 1- z/n ) = 1 - P(F(Mn) < 1- z/n )
Joa und hier hakts dann wieder. Darf man den Limes in P(.) reinziehen?
Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Di 08.12.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
bestimme zunaechst die Verteilung von [mm] $M_n$. [/mm] Dann sehen wir weiter ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Di 08.12.2009 | | Autor: | nikinho |
gut die Verteilung von Mn ist wohl (ich nenne sie mal Fm)
Fm (x) = P(Mn [mm] \le [/mm] x) = [mm] P(X1\lex)*...*P(Xn\lex) [/mm] = [mm] F(x)^n
[/mm]
das hatten wir schonmal bei einer anderen Aufgabe.
Aber ich verstehe überhaupt nicht wie mir das hier weiterhilft, bzw wo das auftaucht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Di 08.12.2009 | | Autor: | luis52 |
Nehmt doch mal an, dass $F_$ eine eindeutige Inverse hat, [mm] $F^{-1}$. [/mm] Was passier dann?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Di 08.12.2009 | | Autor: | nikinho |
okay dann könnte ich denk ich folgenden Schritt machen:
Fn(z) = P (F(Mn) [mm] \ge [/mm] 1- z/n)
=P( Mn [mm] \ge [/mm] F^-1 (1- z/n) )
P (Mn [mm] \ge [/mm] inf {x [mm] \in \IR [/mm] | F(x) [mm] \ge [/mm] 1-z/n }
so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Di 08.12.2009 | | Autor: | luis52 |
> okay dann könnte ich denk ich folgenden Schritt machen:
>
> Fn(z) = P (F(Mn) [mm]\ge[/mm] 1- z/n)
>
> =P( Mn [mm]\ge[/mm] F^-1 (1- z/n) )
>
*Ich* rechne so
[mm] \begin{matrix}
P(F(M_n)\ge1-z/n) &=&1-P(F(M_n)\le1-z/n) \\
&=&1-P(M_n\le F^{-1}(1-z/n)) \\
&=&1-F^n(F^{-1}(1-z/n))
\end{matrix} [/mm]
(Die Infimumsmurkserei kannst du dir spaeter ueberlegen. Erst mal sehen, wohin die Reise geht ...)
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Di 08.12.2009 | | Autor: | nikinho |
okay das hilft mir jetzt weiter glaube ich :)
also:
Fn(z) = ... = 1- F(F^(-1) (1-z/n) [mm] )^n
[/mm]
=1 - [mm] (1-z/n)^n
[/mm]
wenn ich jetzt hiervon den limes bilde erhalte ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] Fn(z) = 1 - e^(-z)
Das wäre dann meine Verteilungsfunktion von Z
stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Di 08.12.2009 | | Autor: | luis52 |
> okay das hilft mir jetzt weiter glaube ich :)
> also:
>
> Fn(z) = ... = 1- F(F^(-1) (1-z/n) [mm])^n[/mm]
> =1 - [mm](1-z/n)^n[/mm]
>
> wenn ich jetzt hiervon den limes bilde erhalte ich
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] Fn(z) = 1 - e^(-z)
>
> Das wäre dann meine Verteilungsfunktion von Z
> stimmt das so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") *Grenz*verteilung.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Bibijana |
Muß jetzt noch gezeigt werden, dass [mm] 1-e^{-z} [/mm] Verteilung einer absolut-stetigen Zufallsvariablen ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Fr 11.12.2009 | | Autor: | nikinho |
also dass das die Verteilungsfunktion einer Exponentialverteilung ist, wissen wir glaub ich aus der Vorlesung
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Fr 11.12.2009 | | Autor: | SCO23 |
> > okay dann könnte ich denk ich folgenden Schritt machen:
> >
> > Fn(z) = P (F(Mn) [mm]\ge[/mm] 1- z/n)
> >
> > =P( Mn [mm]\ge[/mm] F^-1 (1- z/n) )
> >
>
> *Ich* rechne so
>
> [mm]\begin{matrix}
P(F(M_n)\ge1-z/n) &=&1-P(F(M_n)\le1-z/n) \\
&=&1-P(M_n\le F^{-1}(1-z/n)) \\
&=&1-F^n(F^{-1}(1-z/n))
\end{matrix}[/mm]
>
> (Die Infimumsmurkserei kannst du dir spaeter ueberlegen.
> Erst mal sehen, wohin die Reise geht ...)
>
> vg Luis
>
Hallo! Ich muss mich auch mit der Aufgabe auseinandersetzen. Ich verstehe nicht ganz, wie man zur Gleichheit der ersten Zeile kommt. Gilt nicht eher:
[mm]\begin{matrix}
P(F(M_n)\ge1-z/n) &=&1-P(F(M_n)<1-z/n) \\
&=&1-P(M_n\le F^{-1}(1-z/n)) + P(M_n = F^{-1}(1-z/n)) \\
\end{matrix}[/mm]
Damit kann ich dann allerdings nichts mehr anfangen. Oder habe ich einen Denkfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Fr 11.12.2009 | | Autor: | luis52 |
> Hallo! Ich muss mich auch mit der Aufgabe
> auseinandersetzen. Ich verstehe nicht ganz, wie man zur
> Gleichheit der ersten Zeile kommt. Gilt nicht eher:
>
> [mm]\begin{matrix}
P(F(M_n)\ge1-z/n) &=&1-P(F(M_n)<1-z/n) \\
&=&1-P(M_n\le F^{-1}(1-z/n)) + P(M_n = F^{-1}(1-z/n)) \\
\end{matrix}[/mm]
>
> Damit kann ich dann allerdings nichts mehr anfangen. Oder
> habe ich einen Denkfehler?
Im Prinzip hats du recht. Ich zitiere aus der Aufgabenstellung:
Seien {Xi} i=1,2,... unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen mit *stetiger* Verteilungsfunktion F
Folglich ist [mm] $P(M_n [/mm] = [mm] F^{-1}(1-z/n))=0$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:21 Sa 12.12.2009 | | Autor: | SCO23 |
Trotz der Gefahr, dass ich hier eine gravierende Wissenlücke offenbare: Könnte mir jemand diesen Zusammenhang kurz erklären. Ich vermisse den AHA-Effekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Sa 12.12.2009 | | Autor: | luis52 |
> Trotz der Gefahr, dass ich hier eine gravierende
> Wissenlücke offenbare: Könnte mir jemand diesen
> Zusammenhang kurz erklären. Ich vermisse den AHA-Effekt
Welchen Zusammenhang wozu?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Sa 12.12.2009 | | Autor: | SCO23 |
Achso das war etwas missverständlich, sorry. Ich meinte die Folgerung:
Stetigkeit der Verteilung der {Xi} [mm] \Rightarrow P(M_n [/mm] = [mm] F^{-1}(1-z/n)) [/mm] = 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Sa 12.12.2009 | | Autor: | luis52 |
Koerpergroessen von Frauen werden gerne als stetige
Zufallsvariablen modelliert. Wie gross ist die Wsk dafuer, eine Frau mit
einer Koerpergroesse von [mm] $170+\pi$ [/mm] Zentimetern zu treffen?
Vernuenftigerweise lautet die Antwort 0, obwohl es nicht das unmoegliche
Ereignis ist.
Wenn nun die Koerpergrosse von 5 Frauen festgestellt wird, so ist das
Maximum dieser Werte auch stetig verteilt ...
vg Luis
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Ich habe die Ausführungen genauso wie du gemacht (was nicht heiß, dass sie richtig sind!), bis zu der Stelle
P( F(Mn) >= 1-z/n ) [dein vorletzter Schritt]
Es gab ja noch den Hinweis, Aufgabe 11 zu beachten (verallgemeinerte Inverse), insbesondere mit der Eigenschaft
Für x aus R, p aus (0,1), gilt: F(x) >= p <=> x >= F inv (p)
und die könnte man hier anwenden. Aber weiter komme ich damit auch nicht, bis zur Stelle
inf{max(X1,...,Xn)|F(Mn) >= 1-z/n}
da ist für mich Schluss
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