Konvergenz mit Wurzelkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich soll folgende Reihe auf Konvergenz mittels Wurzelkriterium überprüfen.
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}+n} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^{2}+n} =\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{1}{n^{2}+n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{{\wurzel[n]1}}{\wurzel[n] (n^{2}+n)} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n] (n^{2}+n)} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n] n^{2} \wurzel[n](1+(1/n))} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{ n^{\bruch{2}{n}} \wurzel[n](1+(1/n))} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1
Keine Aussage über Konvergenz möglich.
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:50 Fr 16.06.2017 | | Autor: | fred97 |
> Ich soll folgende Reihe auf Konvergenz mittels
> Wurzelkriterium überprüfen.
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> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}+n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^{2}+n} =\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{1}{n^{2}+n}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{{\wurzel[n]1}}{\wurzel[n] (n^{2}+n)}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n] (n^{2}+n)}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n] n^{2} \wurzel[n](1+(1/n))}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{ n^{\bruch{2}{n}} \wurzel[n](1+(1/n))}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1}[/mm] = 1
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> Keine Aussage über Konvergenz möglich.
>
> Ist das so richtig?
Ja, mit dem Wurzelkriterium kommst Du dieser Reihe nicht bei. Tipp: Majorantenkriterium.
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> Ich soll folgende Reihe auf Konvergenz mittels
> Wurzelkriterium überprüfen.
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> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}+n}[/mm]
Hallo,
wie Fred schon sagt, stimmt Dein Ergebnis.
Zwei Anmerkungen:
>
> [mm] \red{\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^{2}+n} =\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{1}{n^{2}+n}}}
[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{{\wurzel[n]1}}{\wurzel[n] (n^{2}+n)}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n] (n^{2}+n)}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n] n^{2} \wurzel[n](1+(1/n))}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{ \blue{n^{\bruch{2}{n}}} \wurzel[n](1+(1/n))}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1}[/mm] = 1
1.
Das Rotmarkierte ist falsch.
2.
Für das Blaue solltest Du eine gute Begründung auf Lager haben.
LG Angela
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> Keine Aussage über Konvergenz möglich.
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> Ist das so richtig?
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