Konvergenz komplexer Reihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche der folgenden Reihen konvergierren?
(i) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{i^n}{n}
[/mm]
(ii) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1-i}{1+i})^n
[/mm]
(iii) [mm] \summe_{n=2}^{\infty}(\bruch{1}{log(n)})*(\bruch{1-i}{1+i})^n
[/mm]
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Ich bin zum Schluss gekommen, dass alle Reihen divergieren - ist das richtig?
(i) die Reihe springt im zyklus von 4 auf:
n1 = i/n; n2 =-1/n; n3 = -i/n; n4 = 1/n
(ii) [mm] (\bruch{1-i}{1+i})^n [/mm] = [mm] (\bruch{(1-i)*(1-i)}{(1+i)*(1-i)})^n [/mm] = [mm] (\bruch{-2i}{2})^n [/mm] = [mm] (-i)^n
[/mm]
hier springt i immer auf folgenden zyklus:
n1=i; n2=-1; n3=-i; n4=1
daher divergent.
(ii) nach Aufgabe (ii):
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}(\bruch{1}{log(n)})*(-i)^n
[/mm]
daher ebenfalls divergent...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mi 20.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> Ich bin zum Schluss gekommen, dass alle Reihen divergieren - ist das richtig?
Falsch, alle außer (ii) konvergieren. Schau dir bei allen Reihen den Real- und Imaginärteil der Partialsummenfolge an. Bei (i) und (iii) benutze das Leibnizkriterium um Konvergenz zu zeigen und bei (ii) benutzt du, dass die alternierende Reihe [mm] \sum_k(-1)^k [/mm] divergent ist.
Gruß, Robert
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