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| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^{n^{2}}}{n!} [/mm] |
Hallo,
ich dachte hierbei gehe ich wie folgt vor:
1. Konvergenzradius bestimmen.
Dies mache ich mit der Cauchy-Ha.-Formel r= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{1}{/c_{n}/}} [/mm] (die schräger sollen betragsstriche andeuten)
also r= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] / [mm] \bruch{n!}{(n+1)!}/= \limes_{n\rightarrow\infty}/\bruch{1}{n+1}/=\infty
[/mm]
Dann wäre Potenzreihe konvergent für /z/ "Element aus" Komplexen Zahlen...aber in der Lösung steht /z/<1...wie komme ich denn bei dem Radius auf r=1??
ich glaub ich hab da iwas falsch verstanden...
Ist dieser eine Konstante-->keine absolute Konvergenz -->keine Aussage zu Verhalten auf Konvergenzkreis möglich
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 So 31.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. so wie du sie anwendest hast du nicht die Cauchy-Had. formel verwendet.
2. die gilt, wenn da [mm] z^n [/mm] steht!
3. 1/(n+1) setz mal ein grosses n ein!
4. du hast nicht [mm] c_n/c_{n+1} [/mm] verwendet.
Also genauer.
Gruss leduart
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Ah, oh Gott, wie peinlich...natürlich ist der GRENZWERT "0" und nicht unendlich...ich war kurzzeitig verwirrt und hab wohl nur "aha, harmonische reihe" gedacht...so viel dazu...
ok, CH-Formel falsch abgeschrieben. und außerdem ist [mm] z^{n^2} [/mm] nicht derart, das es iwie sinnvoll wäre, CH-F. zu verwenden...sehe ich ein...
und ist dann also lt. wikipedia lim [mm] /c_{n}/c_{n+1}/ [/mm] (betrag!)= unendlich?! für n gg. unendl.? habe ich mich wieder iwo vertan?
männo, ich stell mich aber auch an....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Mo 01.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Betragsstriche sollte es auf deiner Tastatur geben.
bei mir | (Alt+7)
du hast das [mm] n^2 [/mm] bei z nicht beachtet
wenn da [mm] z^n [/mm] stünde wärs die Exponentialreihe, also konvergenzradius [mm] \infty
[/mm]
aber nicht wenn da [mm] n^2 [/mm] im Exponenten steht
Gruss leduart
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Okay, naja, so halb mit Absicht bzw. ich sehe ja ein, dass es nicht richtig sein kann, weil sich eine Reihe mit dem "puren" [mm] z^{n} [/mm] ja von der gegebenen logischerweise unterscheiden muss...
Allerdings muss ich gestehen, dass ich mir mit der 2er-Potenz nicht so recht zu helfen weiss...
Denn ich dachte: Die Potenzreihe ist der Form [mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_{n}(z-z_{0})^{n} [/mm] Da dachte ich [mm] c_{n}=1/n!
[/mm]
Ja, das ist wohl des Pudels Kern bzw. eben der meines Problems:
...Wie gehe ich denn mit der 2er-Potenz des z's um?
ACH, und weil ich's grad lese (Bitte sagen, wenn ich dafür lieber nen eigenen Thread aufmachen soll, aber ich kann nicht einschätzen, wie schwierig der Sachverhalt sein wird...): Was mache ich, wenn n nicht bei 0 sondern z.b. bei 2 losläuft...ich habe nur mal einen Satz gelesen, in dem stand, dass sich dann "natürlich die Aussage über das Verhalten der Potenzreihe bzw. ihre Konvergenz auf dem Konvergenzkreis ändert. " Aber inwiefern, was passiert da? Achso, ich beziehe mich hier nat. auf die komplexe, weil ich das gewohnter bin...)
Vielen Dank für die Hilfe bisher!
LZ
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Hallo,
substituiere [mm] $k:=n^2$
[/mm]
Dann hast du [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k} \ !}\cdot{}z^k$ [/mm] und du kannst mit Cauchy-Hadamard ansetzen:
Es ist [mm] $c_k=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } k \ \mbox{keine Quadratzahl} \\ \frac{1}{\sqrt{k} \ !}, & \mbox{falls } k \ \mbox{Quadratzahl} \end{cases}$
[/mm]
Berechne [mm] $R=\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|c_k\right|}$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius [mm] $\rho=\frac{1}{R}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Mo 01.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn man deinen Argumenten folgt, kriegt man unendlichen konvergenzradius raus. wenn man dagegen
[mm] \wurzel[n]{\bruch{z^{n^2}}{n!}} [/mm] ansieht, und mit der geom. Reihe vergleicht ( wo ja der konv Radius herkommt, ist der konv. radius 1
ich denke nicht, dass man so substituieren darf.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
> Hallo
> Wenn man deinen Argumenten folgt, kriegt man unendlichen
> konvergenzradius raus. wenn man dagegen
> [mm] \wurzel[n]{\bruch{z^{n^2}}{n!}} [/mm] ansieht, und mit der geom.
> Reihe vergleicht ( wo ja der konv Radius herkommt, ist der
> konv. radius 1
Nun, ich (bzw. DERIVE) bekomme als Limes superior aber 1 heraus ...
[mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\frac{1}{\left(\sqrt{k}\right)!}}=1$ [/mm] lt. DERIVE
Also Konvergenzradius [mm] $\rho=1$
[/mm]
> ich denke nicht, dass man so substituieren darf.
Wo siehst du denn einen (den) logischen Fehler in der Substitution?
> Gruss leduart
Gruß
schachuzipus
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