Konvergenz komplexe Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Fr 08.01.2016 | | Autor: | sandroid |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihe
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{sin(2k)}{(\wurzel{3})^k}exp(7ik)$
[/mm]
auf absolute und nicht absolute Konvergenz. |
Hallo,
ich bin gerade etwas in Klausurvorbereitung (Ana 1) und mich würde interessieren, ob meine Lösung dieser Aufgabe korrekt ist, da ich mich noch etwas unsicher mit komplexen Reihen fühle.
Die Reihe ist genau dann abs. konvergent, wenn
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \left|\bruch{sin(2k)}{(\wurzel{3})^k}exp(7ik)\right|$ [/mm] konvergiert.
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \left|\bruch{sin(2k)}{(\wurzel{3})^k}exp(7ik)\right|=\summe_{k=0}^{\infty} \left|\bruch{sin(2k)}{(\wurzel{3})^k}\right| [/mm] * [mm] \left|exp(7ik)\right|=\summe_{k=0}^{\infty} \left|\bruch{sin(2k)}{(\wurzel{3})^k}\right| [/mm] * 1$
Wende Wurzelkriterium an:
[mm] $\limsup\limits_{k \to \infty} \wurzel[k]{\left|\bruch{sin(2k)}{(\wurzel{3})^k}\right|}=\limsup\limits_{k \to \infty} \bruch{1}{\wurzel{3}}*\wurzel[k]{\left| sin(2k) \right|}\le \limsup\limits_{k \to \infty}\bruch{1}{\wurzel{3}}*\wurzel[k]{1}=\bruch{1}{\wurzel{3}}<1$
[/mm]
Dann gilt nach Wurzelkriterium, dass die Reihe absolut konvergiert.
Vielen Dank schon einmal.
Gruß,
Sandro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Fr 08.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die Reihe
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{sin(2k)}{(\wurzel{3})^k}exp(7ik)[/mm]
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> auf absolute und nicht absolute Konvergenz.
> Hallo,
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> ich bin gerade etwas in Klausurvorbereitung (Ana 1) und
> mich würde interessieren, ob meine Lösung dieser Aufgabe
> korrekt ist, da ich mich noch etwas unsicher mit komplexen
> Reihen fühle.
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> Die Reihe ist genau dann abs. konvergent, wenn
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left|\bruch{sin(2k)}{(\wurzel{3})^k}exp(7ik)\right|[/mm]
> konvergiert.
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> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left|\bruch{sin(2k)}{(\wurzel{3})^k}exp(7ik)\right|=\summe_{k=0}^{\infty} \left|\bruch{sin(2k)}{(\wurzel{3})^k}\right| * \left|exp(7ik)\right|=\summe_{k=0}^{\infty} \left|\bruch{sin(2k)}{(\wurzel{3})^k}\right| * 1[/mm]
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> Wende Wurzelkriterium an:
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> [mm]\limsup\limits_{k \to \infty} \wurzel[k]{\left|\bruch{sin(2k)}{(\wurzel{3})^k}\right|}=\limsup\limits_{k \to \infty} \bruch{1}{\wurzel{3}}*\wurzel[k]{\left| sin(2k) \right|}\le \limsup\limits_{k \to \infty}\bruch{1}{\wurzel{3}}*\wurzel[k]{1}=\bruch{1}{\wurzel{3}}<1[/mm]
>
> Dann gilt nach Wurzelkriterium, dass die Reihe absolut
> konvergiert.
Ist O.K.
Fred
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> Vielen Dank schon einmal.
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> Gruß,
> Sandro
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